Исследование окрестности особой точки методом Фроммера

2. Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления

Рассмотрим обобщённый степенной ряд

, (2.1)

где x,y - вещественные переменные;

.

Допустим, что существует x=a>0, y=b>0 при которых ряд (2.1) абсолютно сходится.

Тогда этот ряд абсолютно сходится в прямоугольнике

.

Функцию, определяемую рядом (2.1), абсолютно сходящимся в прямоугольнике , т.е. будем называть квазианалитической в области, а если число членов, которое содержится в данном выражении, конечно, то квазиполиономом.

Пусть - квазианалитическая функция в области и функция однозначна, следовательно и непрерывна в прямоугольнике , тогда функцию будем называть квазианалитической в области П.

Рассмотрим систему уравнений:

(2.2)

где и - квазианалитические функции в области П вида

Будем предполагать выполненными следующие условия:

а),

б) Для всякого положительного числа К имеется конечное число различных показателей - меньших К.

в)

С помощью подстановки можно доказать, что через каждую точку области П, отличную от начала координат, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения

(2.3)

то есть начало координат является изолированной особой точкой уравнения (2.3).

Исследуем задачу представления решения уравнения (2.3) в виде ряда

(2.4)

где

Здесь - представляет собой последовательные возможные порядки кривизны, - соответствующие им конечные ненулевые меры кривизны интегральных кривых.

Ряд (2.4) будем называть специальным рядом или рядом Фроммера.

Определим первый член разложения (2.4) . Для этого квазианалитические функции P и Q представляются в специальной, так называемой, нормальной форме:

(2.5)

Квазиполином называется основной частью, а квазианалитическая функция - добавочной частью функции .

Аналогично, для , получим:

(2.6)

Учитывая (2.5) и (2.6), уравнение (2.3) представимо в нормальной форме:

(2.7)

Относительно правой части уравнения (2.3) записанного в нормальном виде (2.7), предположим:

г)

Произведём в уравнении (2.7) преобразование

(2.8)

где - дифференцируемая вблизи нуля функция;

- неотрицательный параметр.

(2.9)

Числитель и знаменатель уравнения (2.9) в каждом члене содержат различные степени x, которые зависят от параметра . Для выяснения вопроса о том, какая из этих степеней является наименьшей, строят характеристическую ломаную следующем образом:

на оси абсцисс откладываем параметр , а на оси ординат - те показатели x, которые могут быть наименьшими при .

Очевидно, что интегральные кривые, совпадающие с осями координат в достаточной близости нуля, или имеющие нулевые и бесконечные порядки кривизны, не могут быть представлены в виде рядов (2.4). Поэтому будем предполагать отсутствие интегральных кривых указанных типов у уравнения (2.3), т.е. требуем выполнения условия г).

Из условия г) следует, что построенный характеристический многоугольник обладает следующими свойствами:

1. существует первые и последние звенья, а промежуточные могут отсутствовать;

2. первое звено является пунктирным и не проходит через начало, а последнее звено

будет сплошным и не параллельно оси , так как оно имеет отрицательный угловой коэффициент.

Эти свойства характеристического многоугольник гарантирует отсутствие интегральных кривых уравнения (2.7), имеющих нулевые и бесконечные порядки кривизны или совпадающих с осями координат.

Пусть - характеристические числа, то есть абсциссы вершин характеристического многоугольника. Отсюда следует, что

Подставляя в первой части уравнения (2.9) вместо и сокращая числитель и знаменатель на небольшую возможную степень x , получим

(2.10)

Алгебраическое уравнение:

=0 (2.11)

является уравнением мер кривизны (УМК) для показателя . Каждый действительный корень уравнения (2.11) будет коэффициентом первого члена ряда, который имеет показатель .

Если для всех уравнение мер кривизны не имеет ни одного действительного положительного корня, то дифференциальное уравнение (2.3) не может иметь решения, примыкающего к особой точке О(0;0) из области П.

Найдя все положительные действительные корни (их конечное число) УМК (2.11) для каждого показателя во всех остальных областях мы можем решить вопрос о наличии или отсутствии коэффициента первого члена ряда (2.4), имеющего показатель . Отсутствие коэффициента для всех показателей в области П гарантирует отсутствие решения уравнения (2.3), представимого в виде ряда (2.4).

Введём обозначения

Уравнение (2.10) можно переписать в виде

Отсюда следует, что функция равна разности угловых коэффициентов направления поля и касательной к параболе вблизи начала координат О(0;0) и в дальнейшем её будем называть функцией разности.

Аналогичным образом определяется второй член искомого разложения (2.4).

Теорема 2.1. Если, начало координат О(0;0) является особой точкой первой группы (седло, узел, седло - узел), то интегральные кривые уравнения (2.3), примыкающие к особой точке О(0;0) , за исключением кривых имеющих нулевые и бесконечные порядки кривизны, можно представить формальными рядами вида (2.4).

Теорема 2.2. Если какой либо показатель ряда (2.4) определяется из коэффициента правой части уравнения, то ряд (2.4) сходится вблизи О(0;0) и является решением данного дифференциального уравнения.

Теорема 2.3. Формальный ряд (2.4) служит асимптотическим представлением некоторой аналитической функции соответствующей правильной О - кривой уравнения (2.3).