Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней

дипломная работа

3. Критический случай двух нулевых корней

Как показано в предыдущей главе, мы можем привести задачу об устойчивости по переменным с одним нулевым и парой чисто мнимых корней к задаче об устойчивости по переменных с двумя нулевыми корнями. Переходим к критическому случаю двух нулевых корней, так как случай одного нулевого и двух мнимых можно свести к этому случаю с помощью замены. Рассмотрим систему уравнений такого вида:

(3.1)

Правые части удовлетворяют условиям:

- разложимы в ряд по степеням . Они сходятся в области . В ней они непрерывны и ограничены вместе со своими частными производными и обращаются в ноль в начале координат.

и представляют собой совокупности k-го порядка по степеням . и одновременно не обращаются в ноль при любой совокупности .

Функции и имеют порядок по выше определенны и непрерывны в области .

Для начала пусть . Тогда система (3.1) будет системой из трех уравнений.

(3.1)

В этом случае обобщим метод изложенный Малкиным И.Г. в [1] и [6]. Для выведения условия устойчивости относительно рассмотрим две формы:

(3.2)

Будем рассматривать случай лишь, когда G может обращаться в ноль при . (как мы покажем, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней сводится именно к такому случаю).

Тогда уравнение

(3.3)

будет определять на плоскости x,y при фиксированном , одну или несколько прямых, проходящие через начало координат. Чтобы это показать составим систему уравнений:

(3.4)

Рис. 3.1

Все поверхности определяемые уравнением , содержат интегральные кривые (3.4). Всякая интегральная кривая уравнений (3.1) необходимо будет касаться интегральных кривых (3.4) и движение по ним будет направленно в ту же сторону. Значит все интегральные кривые (3.1), будут касаться поверхностей , располагаясь в поверхностях образованных первыми двумя уравнениями из (3.1).

Запишем уравнение (3.3), подставив в него (3.4), получаем тождество:

Получим семейство кривых, пересекающихся в точке

Где рассматривается как параметр.

Соответственно, при условии, что обе правые части не обращаются одновременно в ноль ни при каком , в пространстве уравнение (3.3) будет образовывать область пересекающихся по прямой поверхностей, таких, что если провести через них сечение , мы получим плоскость с пересекающимися в центре (0,0,const) прямыми. На рисунке (рис. 3.1) показано как выглядят поверхности, определяемые уравнением в пространстве.

Форма P в силу (3.4) примет вид:

Что очевидно является производной положительной знакоопределенной по формы , допускающей бесконечно малый высший предел по . Если на поверхностях, задаваемых уравнением . То < 0 везде в области, кроме начала координат, где она обращается в ноль. Значит, является знакоопределенной отрицательной по переменным . На основании теоремы [2 п.6.2] невозмущенное движение системы (3.4) асимптотически устойчиво.

Если это так, то и движение системы (3.1) в малой окрестности будет также устойчиво асимптотически.

Теперь вернемся к системе (3.1) и заметим, что если увеличить число переменных z, ничего в рассуждениях не поменяется. Тогда:

(3.5)

И если на поверхностях , то движение асимптотически устойчиво относительно .

Теорема [2 п.6.2] также дает равномерно асимптотическую устойчивость, благодаря чему она обратима.

Пусть теперь форма может принимать положительные значения. Без ограничения общности будем полагать, что она принимает положительные значения при некотором наборе на прямой . К этому можно перейти, при фиксированных , соответствующим поворотом осей. Но если уравнение (3.3) имеет решение то при должна обращаться в ноль на плоскости .

Тогда на плоскости при фиксированном наборе :

(3.6)

Здесь зависят от выбора плоскости и, следовательно, от набора , однако на плоскости они являются константами.

Так как форма имеет вид (3.4) то:

- фиксированный набор.

При нечетном, должен быть положительным, а при четном, может быть как положительным, так и отрицательным. Но в последнем случае замена меняет знак . Поэтому будем его предполагать положительным.

Для доказательства неустойчивости будем использовать теорему Четаева Н.Г. [1,п.48][5]. А для этого рассмотрим функцию:

(3.7)

Где некоторая положительная постоянная. Составим полную производную от этой функции. В силу уравнений (3.1) будем иметь:

Ненаписанные члены имеют порядок, не меньший .

Функция принимает положительные значения при . То же самое имеет место по отношению к ее производной.

Если достаточно мало и, в случае четного . Это следует из вида и того, что коэффициент .

Следовательно, вблизи начала координат существует область .

1) Допустим теперь, что .

Покажем, что можно выбрать такой малой, чтобы область была полностью заключена внутри области .

когда (в силу (3.7)). Тогда только при , принимает положительные значения. Мы можем заменить это неравенство, взяв где .

Где - некоторая аналитическая функция, обращающаяся в ноль при .

Рис. 2.2

Значит, при достаточном малом , знак этого выражения совпадает со знаком (по крайне мере при ). - константа при фиксированном наборе , и будет определяться следующим соотношением:

Выберем столь малым, что знак будет совпадать со знаком , и так как , то при .

Таким образом, в достаточно малой окрестности координат существует область , заключенная внутри области . Следовательно, движение будет неустойчиво по теореме Н.Г.Четаева [1,п.48][5].

2) Теперь допустим .

При таких значениях, будет положительно лишь при некоторых . Что значит, теперь, область заключена внутри , и условия теоремы Четаева не выполняются. Однако, покажем, что будет также неустойчивость.

Пусть есть такая положительная величина, что при величина положительна. Составим функцию:

уравнение корень нулевой мнимый

Область целиком заключена внутри . Однако же, не всюду положительна в области и на границе , так как она обладает теми же свойствами что и .

Пусть есть границы области , а границы области . Также эти области ограничены . (Рис 3.2) Внутри рассмотрим область , ограниченную отрезком гиперболы и отрезком гиперболы . При этом фиксированное число, а сколь угодно мало. Так что расположено сколь угодно близко к точке .

Внутри и для нее существует положительный нижний предел. Пусть . Пусть:

Рассматриваем кривую, выходящую в момент из точки дуги . Уравнение этой интегральной кривой:

Будем двигаться вдоль этой дуги в сторону уменьшения до момента . При этом интегральная кривая будет приближаться к началу координат, по крайней мере, пока не покинет области , так как в ней . Но если бы кривая в какой-то момент покинула бы область , что она может сделать только через границы и , то должны выполняться условия и . Что, однако, невозможно, так как на границах производная , как указывалось ранее.

Тогда при интегральная кривая будет оставаться внутри области . Допустим она при будет проходить через точку и докажем, что точка тогда будет лежать внутри области . Для этого нужно показать, что интегральная кривая при убывании от до проходит через .

Если же от противного предположить, что все время интегральная кривая находится внутри , тогда будем иметь:

Поскольку . А (так как точка расположена на соответствующей гиперболе).

Отсюда:

Что невозможно, так как в области (где по предположению располагается точка ), .

Таким образом, точка располагается в области . Рассмотрим теперь кривую, выходящую из точки в момент времени . Очевидно, что это будет та же самая кривая, она придет в точку при .

Значит, движение в момент времени располагается сколь угодно близко к началу координат (так как сколь угодно мало), а в момент времени на некотором расстоянии от него. Это означает, что невозмущенное движение будет неустойчиво.

3) Рассмотрим последний случай

Рассмотрим функцию:

И область:

(3.8)

Так как, все переменные лежат в этой области тогда:

Тогда:

Следовательно, можно принять , где , очевидно, что при таком соотношении .

Составим производную от , в силу уравнений (4.1).

Запишем ее в соответствии с (4.6), заменяя при этом на .

Где аналитическая функция, обращающаяся в ноль при , а коэффициент перед в , его можно предполагать сколь угодно малым, поскольку, если в системе (3.1) сделать замену , где постоянная, то не изменится, а в форме коэффициент перед умножится на , которое мы можем положить малым.

Так как и численно мало, то вблизи начала координат будет принимать положительные значения (при , если четное) при всех .

Следовательно, при , достаточно малом, во всей области (2.8) принимает положительные значения, что удовлетворяет условиям теоремы Четаева.

Таким образом движение неустойчиво при каком-то фиксированном наборе , то оно будет неустойчиво относительно .

На основании доказанного можно сформулировать теорему.

Теорема (3.9): Если предложена система возмущенного движения (3.1) при соответствующих наложенных на правые части ограничениях. Составим формы (3.5) и при этом здесь форма не знакоопределенная. Тогда возможны следующие из двух случаев:

1)Если на поверхностях, определяемых уравнением , форма принимает лишь отрицательные значения, то невозмущенное движение равномерно асимптотически устойчиво относительно .

2)Если на поверхностях, определяемых уравнением , форма может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво относительно .

Делись добром ;)