Исследование устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых и одного нулевого корней
2. Устойчивость относительно переменных с одним нулевым и парой чисто мнимых корней в частном случае
Возьмем систему (1.11) из предыдущей главы. Исследуем устойчивость системы с двумя чисто мнимыми и одним нулевым корнем в частном случае, с конкретным видом правых частей. Воспользуемся заменой указанной И.Г. Малкиным [1. п.96.11] для сведения рассматриваемого случая к случаю двух нулевых корней.
И произведем замену:
Тогда из системы (1.11) получим
здесь уравнения с отрицательными действительными корнями. Примем пока, что они отсутствуют, и будем рассматривать устойчивость лишь относительно двух нулевых корней. Перепишем систему (2.2):
Таким образом, любую систему с одним нулевым и парой чисто мнимых корней можно привести к рассмотрению системы с двумя нулевыми корнями с помощью замены аналогичной (2.1).
Пусть функции имеют конкретный вид:
аналитические функции разложимые в окрестности нуля по степеням .
уже имеют порядок разложения не ниже четвертого.
Доказывать устойчивость будем согласно теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости относительно части переменных [2].
Функцию Ляпунова возьмем в виде:
Очевидно, что она удовлетворяет условиям теоремы [2, п.6.2]. Она знакоопределенная по совокупностям переменных , и допускает по ним бесконечно малый высший предел.
Вычислим производную от функции в силу уравнений (2.5)
Функции будем рассматривать как зависящие от параметров.
Тогда (2.6) запишется как
Так как (2.8) представляет собой квадратичную форму относительно . Применим критерий Сильвестра для определения знакоопределенности формы. Составим матрицу квадратичной формы:
Выпишем главные миноры, и применим критерий для определения устойчивости.
Обозначим функции характеризующие устойчивость:
Тогда возможны три случая:
1) Если при всех функции , то невозмущенное движение системы (2.3) устойчиво асимптотически по .
2) Если при всех функции , то невозмущенное движение системы (2.3) неустойчиво по .
3) Если не принимают значения одного знака, или обращаются в ноль, задача об устойчивости не решается способом, изложенным в данной главе.