Исследование функций

курс лекций

2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.

Ключевые понятия

Локальный максимум. Локальный минимум. Локальный экстремум. Монотонность функции.

1. Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 - внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f 0).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f 0).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х1, х3 - точки локального минимума, точки х2, х4 - точки локального максимума, х = а - краевого максимума, х = b - краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а - точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 - точка соответственно глобального минимума.

Делись добром ;)