2. ПОНЯТИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ

Как уже говорилось, запись предиката можно рассматривать как множество высказываний. Из предикатов получаются высказывания при замене (подстановке) переменных постоянными или посредством связывания их кванторами. Так что предикаты можно соединять между собой и с высказываниями теми же связками «?», «», «», «», «», которые приняты в исчислении высказываний, получая формулы исчисления предикатов. Более точно понятие формулы исчисления предикатов (коротко формулы) определяется следующим образом:

Переменное высказывание есть формула.

Предикаты являются формулами.

Если есть формула, то - формула.

Если и какие-то формулы, причем одна и та же переменная не встречается связной внутри одной формулы и свободной, внутри другой, то , , , суть формулы.

Если (х) означает какую-то формулу, в которой переменная х выступает в качестве свободной переменной, то _х (х) и _х (х) суть формулы. То же самое справедливо для других свободных переменных.

Значит, согласно пункту 5. Одна и та же переменная не встречается в формуле одновременно в свободной и связанной форме.

Для экономии скобок вводятся следующие соглашения: знаки , , , разделяют выражение сильнее, чем знаки общности и существования. Например, выражение _х F(х) р, является более простым способом записи выражения (_х F(х)) р. Прежнее соглашение, что знак связывает теснее, чем знаки , , , знак - связывает теснее, чем знаки и , знак теснее, чем остается в силе.

Далее, ко всякому встречающемуся в формуле знаку общности или существования принадлежит часть формулы, к которой он относится. Эту часть формулы заключают в скобки, помещая перед ними соответствующий знак. Так, в формуле _х (F(х) _у G(у)) область действия знака простирается до конца формулы. В формуле _х F(х) _у G(у) - лишь до знака .

Дальнейшее уменьшение количества скобок достигается с помощью следующего правила: если несколько знаков общности или существования следуют непосредственно друг за другом, не будучи разделенными скобками, то это всегда нужно понимать так, что, их область действия простирается до одного и того же места. Например, выражение:

_хуz (Р(х,у,z) Q(у,z)) R(u) есть более простая запись выражения

_х (_у (_z (Р(х,у,z) Q(у,z)))) R(u).

Для удобства обозначений формул принимаются еще и следующие соглашения:

Вместо Р(х) пишут просто Р(х);

Вместо _х Р(х) пишут просто_х Р(х);

Вместо _х Р(х) пишут просто _х Р(х).

Из самого смысла знаков общности и существования получаются следующие эквивалентности:

_х Р(х) _хР(х) (33)

_хР(х) _х Р(х) (34)

_х Р(х) _хР(х) (35)

_хР(х) _х Р(х) (36)

На основании этих содержательных соотношений можно заменять квантор существования квантором общности и наоборот, а значит, при построении исчисления предикатов обойтись лишь одним квантором.

Проиллюстрируем представления в символической форме высказываний. Предполагая, что переменные пробегают множество людей, применим следующие соглашения

М(х): х есть мужчина;

V (х): х есть женщина;

J (х,у): х моложе, чем у;

R (х,у): х есть ребенок у;

G (х,у): х состоит в браке с у;

K (х): х живет в Киеве;

L (х): х живет в Луганске.

Представим в символической форме следующее высказывание: «Каждый человек имеет отца и мать». Оно будет иметь вид:

(_х (_у (М(у) R (х,у)) _z (V (z) R (х, z)))).