2.3.1 Модификации метода ньютона
1. Вычисления в методе Ньютона гораздо сложнее, чем при простых итерациях, т.к. на каждой итерации требуется находить матрицу производных и решать систему линейных уравнений. Поэтому рекомендуется такой приём: матрица Якоби вычисляется только на начальном приближении. Однако сходимость при этом видоизменении становится линейной, причём обычно не с малой константой, ибо матрица производных на начальной итерации может заметно отличаться от окончательной. Поэтому скорость сходимости заметно уменьшается и требуемое сисло итераций возрастает.
2. В ещё одной модификации итерационную формулу метода Ньютона вводится параметр следующим образом
На каждой итерации находится так, чтобы уменьшить невязку уравнения (3.1), т.е. выполнить неравенство
(3.5)
Проведём обоснование такой процедуры в евклидовой норме.
Ведём в рассмотрение функцию-невязку для уравнения (3.1)
Найдём градиент , используя представление
С этой целью выделим главный член приращения
Следовательно, по определению
Обозначим и найдём производную функции в точке по направлению :
если .
Таким образом, - есть направление спуска для функции в точке для малых . Это значит, что выбор шага согласно условию (3.5) возможен.
- 2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- 2.1 Метод простых итераций
- 2.2 Преобразование Эйткена
- 2.3 Метод Ньютона
- 2.3.1 Модификации метода ньютона
- 2.3.2 Квазиньютоновкие методы
- 3. Другие итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
- 3.3 Метод градиентного спуска
- 3.3 Метод Ньютона
- 3.4 Модифицированный метод Ньютона
- Выводы
- 7. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем. Решение нелинейных уравнений.
- Методы решения систем нелинейных уравнений
- 12. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений
- 3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- 10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- Итерационные методы решения нелинейных уравнений
- Методы решения систем нелинейных уравнений
- 3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ