2.3.1 Модификации метода ньютона

1. Вычисления в методе Ньютона гораздо сложнее, чем при простых итерациях, т.к. на каждой итерации требуется находить матрицу производных и решать систему линейных уравнений. Поэтому рекомендуется такой приём: матрица Якоби вычисляется только на начальном приближении. Однако сходимость при этом видоизменении становится линейной, причём обычно не с малой константой, ибо матрица производных на начальной итерации может заметно отличаться от окончательной. Поэтому скорость сходимости заметно уменьшается и требуемое сисло итераций возрастает.

2. В ещё одной модификации итерационную формулу метода Ньютона вводится параметр следующим образом

На каждой итерации находится так, чтобы уменьшить невязку уравнения (3.1), т.е. выполнить неравенство

(3.5)

Проведём обоснование такой процедуры в евклидовой норме.

Ведём в рассмотрение функцию-невязку для уравнения (3.1)

Найдём градиент , используя представление

С этой целью выделим главный член приращения

Следовательно, по определению

Обозначим и найдём производную функции в точке по направлению :

если .

Таким образом, - есть направление спуска для функции в точке для малых . Это значит, что выбор шага согласно условию (3.5) возможен.