Інверсія на площині
1.4 Образи прямих і кіл при інверсії
Формули (4) і (5) дають можливість знайти образи прямих і кіл при інверсії.
Теорема 1
Пряма, що проходить через центр О інверсії (без самої точки О), переходить в себе, а пряма, що не переходить через центр інверсії, переходить в коло, що проходить через центр інверсії.
Доведення
Перша частина теореми безпосередньо випливає з визначення інверсії, тому доведемо тільки другу частину теореми.
Нехай, Ах + Ву + С = 0 - рівняння довільної прямої, що не проходить через центр інверсії. Якщо в цьому рівнянні х і у замінити виразами (5), то отримаємо рівняння образу цієї прямої:
хІ + уІ + А * RІ x+ B * RІ y = 0. (6)
Цим рівнянням задається коло, що проходить через точку О.
Наслідок 1
Якщо пряма d, не проходить через центр О інверсії, переходить в коло (О1, R), то прямі ОО1 і d перпендикулярні.
Доведення
З рівняння (6) знаходимо координати центра О1 кола (О1, R):
О (,)
Таким чином, вектор (,) перпендикулярний прямій d, заданої рівнянням
Ах + Ву +1 = 0.
Користуючись наслідком 1, легко вказати спосіб побудови образу щ прямої d, що не проходить через центр О інверсії.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2, 3
Нехай Н - основа перпендикуляра, проведеного з центра О кола інверсії г до прямої d, а Н- образ цієї точки (рис. 4, а). Тоді щ є колом, побудованим на відрізку ОН , як на діаметрі. Якщо пряма d перетинає коло інверсії г в двох точках (на рис. 3, б точки А і В), то коло щ проходить через точки А, В і О.
Теорема 2
Коло, що проходить через центр О інверсії (без самої точки О), переходить в пряму, яка не проходить через точку О. Коло, що не проходить через точку О, переходить в коло, яке також не проходить через точку О, причому точка О лежить на лінії центрів цих кіл.
Доведення
Нехай
х2 + у2 + Ах + Ву + С=0 (7)
Це рівняння довільного кола щ. Якщо в цьому рівнянні х і у замінити виразами (5), то отримаємо рівняння образу щ кола:
щ:
Помноживши обидві частини рівності на (якщо , то точка О (0, 0) буде належати даному колу) отримаємо:
Це рівняння приводиться до вигляду:
C(x2 + y2)+AR2x + BR2y + R4=0. (8)
Якщо коло щ проходить через центр інверсії, то C = 0, тому рівнянням (8) визначається пряма щ , яка не проходить через точку О (так як R4?0). Якщо коло щ не проходить через точку О, то C ? О, тому рівнянням (8) визначається коло щ, яке не проходить через центр інверсії.
З рівнянь (7) і (8) знаходимо центри кіл:
(, ) , (, )
- ці точки і точка О (0,0) лежать на прямій, що задана рівнянням Вх - Ау = 0.
Теорема 3
Якщо лінії щ1 і щ2, де щ1 - коло або пряма, а щ2 - коло, торкаються один одного в точці М, відмінної від центру інверсії f, то їх образи щ1 і щ2 також торкаються один одного в точці M = f (M).
Доведення
Так як щ1 і щ2 торкаються один одного в точці М, то М - єдина спільна точка ліній щ1 і щ2. Але кожна з цих ліній є прямою або колом, тому вони торкаються один одного.