Інверсія на площині

курсовая работа

1.5 Інваріантні кола інверсії

Ортогональні кола

Кутом між двома кривими (зокрема, між двома колами) називається кут між дотичними до цих кривих у їх спільній точці.

Два кола, що перетинаються, називаються ортогональними, якщо дотичні до них в точці перетину перпендикулярні (рис. 4).

Рис. 4

Згідно властивості дотичної до кола, центр кожної з двох ортогональних кіл лежить на дотичній до іншого кола в точці їх перетину.

Теорема 4

Коло г, ортогональне до кола інверсії, відображається цієї інверсією на себе (інваріантне при інверсії).

Доведення

Якщо М - довільна точка кола г і пряма ОМ перетинає коло г вдруге в точці М, то за властивостю січних ОМ * ОМ = ОТ2=R2, тобто точки М і М взаємно інверсні щодо кола щ (рис. 5). Отже, коло г відображається на себе.

Теорема 5 (зворотна)

Якщо коло г, відмінне від кола інверсії, відображається інверсією на себе, то воно ортогональне колу інверсії.

Доведення

Відповідні точки М і М кола г лежать на одному промені з початком О, причому одна з них поза, інша - всередині кола щ інверсії (рис. 5). Тому коло г перетинає коло щ. Нехай Т - одна з точок їх перетину. Доведемо, що ОТ - дотична до кола г. Якби пряма ОТ перетинала г ще в іншій точці Т1, то за властивостю січних ОТ * ОТ1=R2. Але ОТ=R і тому ОТ1=R, тобто точки Т і Т1 збігаються, пряма ОТ дотикається до кола г в точці Т, кола щ і г ортогональні.

Інверсія як симетрія відносно кола.

Інверсія відносно кола має аналогію з осьовою симетрією.

Теорема 6

Коло, що містить дві інверсні точки, інваріантне при даній інверсії (отже, дане коло ортогональне колу інверсії).

Доведення

Якщо коло г містить точки А і А, відповідно при інверсії відносно кола щ, то центр О інверсії лежить поза відрізком АА, тобто поза колом г (рис.5). Нехай М - довільна точка кола г і пряма ОМ перетинає г вдруге в точці М. Тоді за властивістю січних ОМ*ОМ= OA*OA = R2

Рис. 5

Тому точки М і М взаємно інверсні, і коло г відображається інверсією на себе. інверсія площина точка пряма коло

Наслідок

Якщо два кола, що перетинаються, ортогональні до кола інверсії, то точки їх перетину взаємно інверсні.

Доведення

Дійсно, якщо А - одна з точок перетину кіл б і в, кожне з яких ортогональне до кола щ інверсії, то пряма OA перетинає як коло б, так і коло в в образі А точки А (рис. 6).

Рис. 6

Інакше кажучи, образом точки А, що не лежить на колі інверсії, є друга точка перетину будь-яких двох кіл, що проходять через точку А і ортогональні до кола інверсії.

Ця властивість може бути покладена в основу визначення інверсії.

Візьмемо тепер замість кола щ пряму щ як граничний випадок кола (коло нескінченно великого радіуса). Центри кіл б і в, ортогональних прямій щ, лежать на цій прямій. Попередня властивість інверсії (друге її визначення) призводить до того, що точки А і А перетину кіл б і в симетричні відносно прямої щ (рис. 7).

Рис. 7

Делись добром ;)