Інтеграл Стілтьєса

курсовая работа

§5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], a g(x) монотонно зростає в цьому проміжку, і притому в суворому сенсі. Тоді, як показав Лебег (Н. Lebesgue), інтеграл Стілтьеса за допомогою підстановки безпосередньо зводиться до інтегралу Рімана.

Доведемо тепер, що

(10)

де останній інтеграл береться у звичайному сенсі, його існування забезпечено, так як функція g(v), а з нею і складна функція f(g-1(v)) неперервні.

Для цього розкладемо проміжок [а, b] на частини за допомогою точок ділення

a=x0<x1<…<xi<xi+1<…<xn=b

и складемо стілтьесову суму

Якщо покласти vi = g(xi) (i = 0, 1, . . ., n), то будемо мати

v0<v1< ... <vi< vi+1 < ... <vn = V.

Так як хi = g-1 (vi), то

Цей вираз має вигляд ріманової суми для інтеграла

Маємо

і

так що

Припустимо тепер настільки малими, щоб коливання функції f(x) у всіх проміжках [xі, хі+1] були менше довільно наперед заданого числа > 0. Так як при , очевидно, , то одночасно і <.

В такому випадку

<

Цим доведено, що

звідки и слідує (10). [4;6]

Делись добром ;)