Інтеграл Стілтьєса

курсовая работа

§7. Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

1) Обчислити за формулою (11) інтеграл:

Розвязок, (а)

і т.д.

2) Обчислити за формулою (15) інтеграли:

(а) , де

(б) , де

Розвязок. (а) Функція має стрибок 1 при и стрибок --2 при ; в решті точок . Тому

(б) Стрибок 1 при и при (значення функції при не впливає на результат); у решті точок g(x) = 0.

Маємо:

3) Обрахувати за формулою (15) інтеграли:

(а) , (б) , (в) ,

де

Розвязок. Функція має скачки рівні 1, при і . Похідна

Тому

Аналогічно,

і

3) Припустимо, що вздовж відрізку вісі х розташовані маси, як скупчені в окремих точках, так и розподілені неперервно. Не роблячи між ними відмінностей, позначимо для через суму всіх мас, розташованих на проміжку ; більше того, покладемо =0. Очевидно, -- монотонно зростаюча функція. Поставимо собі задачею знайти статичний момент цих мас відносно початку координат.

Розібємо проміжок на частини точками

На відрізку при міститься, очевидно, маса. Так само на відрізку міститься маса . Рахуючи масу в усіх випадках зосередженою, наприклад на правому кінці проміжку, отримаємо для шуканого статичного моменту наближений вираз

Коли всі прямують до 0, то у границі прийдемо до точкового результату:

(16)

Можна було б і тут, спочатку встановити «елементарний» статичний момент що відповідає відрізку вісі від до а потім просумувати ці елементи.

Аналогічно для моменту інерції тих самих мас відносно початку знайдемо формулу

(17)

Підкреслимо, що інтеграл Стілтъєса дав можливість обєднати однією інтегральною формулою різнорідні випадки неперервно розподілених и зосереджених мас!

Нехай неперервно розподілені маси мають лінійну щільність ; окрім них, них у точках розташовані зосереджені маси . Тоді, виключаючи ці точки, функція має похідну .

У кожній же точці функція має стрибок, рівний саме масі ,зосередженій в цій точці.

Якщо тепер розкласти інтеграл (16) за формулою (15), то отримаємо

Придивившись до правої частини, у першому члені легко впізнати статичний момент неперервно розподілених мас, а в другому -- статичний момент зосереджених мас. Аналогічний результат одержимо також для інтеграла (17).

0

Рис.1

4) Розглянемо інше питання, в якому інтеграл Стілтьєса грає таку ж роль, як і у вправі 3). Припустимо, що на балку (рис. 1), що спирається на дві опори, окрім неперервно розподіленого навантаження діють і зосереджені сили. Розташуємо вісь х вздовж вісі балки, а вісь у вертикально донизу (див. рис. 1). Не будемо робити різниці між діючими силами, позначимо для через суму усіх сил, що прикладені на відрізку балки, включаючи і реакції опір; далі, нехай . Силу називають перерізувальним зусиллям у перерізі балки. При цьому сили, направлені донизу, будемо вважати додатними, а вгору -- відємними.

Поставимо завдання визначити так званий згинальний момент М у довільному перерізі | балки. Під цим розуміють суму моментів усіх сил, що діють на праву (або на ліву) частину балки, відносно цього перерізу. При цьому, коли мова іде про праву частину балки, момент вважають додатнім, якщо він обертає цю частину за годинниковою стрілкою (для лівої частини -- обернене правило).

Так як на елементі скажімо, правої частини балки прикладена силу що створює елементарний момент

то, «сумуючи», отримаємо

Аналогічно, виходячи з лівої частини балки, можна було б отримати (враховуючи зміну додатного напрямку для відліку моментів)

(18)

Легко безпосередньо побачити, що обидва вирази вигинального моменту дійсно тотожні. Їх рівність рівносильна умові яка є наслідком з умов рівноваги що виражає рівність нулю суми всіх сил і суми моментів (відносно початку) всіх сил, що діють на балку.

Якщо інтенсивність неперервно розподіленого навантаження позначити через то, виключаючи точки, де прикладені зосереджені сили, буде

Нехай зосереджені сили прикладені в точках . Тоді, очевидно, перерізаюче зусилля саме в цих точках має скачки, відповідно рівні . Далі, застосовуючи, наприклад, до інтегралу (18) формулу (15), отримаємо

У двох доданках правої частини легко впізнати моменти, спричинені нарізно неперервним навантаженням і зосередженими силами: інтеграл Стілтъєса охоплює їх єдиною інтегральною формулою.

5) Формула (15) може бути корисна і для обрахунку звичайних інтегралів (у сенсі Рімана). Проілюструємо це наступним загальним прикладом.

Нехай - -- «кусково-поліноміальна» функція на проміжку ; це означає, що проміжок розкладається на скінчене число частин точками

так, що в кожній з частин функція представляється поліномом не вищим -го степеня. Замінивши значення функції і всіх її похідних у точках та нулями, позначимо через величину стрибка -ї похідної в -ій точці

Нехай, далі, -- будь-яка неперервна функція; покладемо

і, взагалі,

Тоді має місце наступна формула:

Дійсно, послідовно знаходимо

;

подвійна підстановка зникає, а інтеграл

;

аналогічно,

і т.д.

7) Встановимо, за допомогою формули (11) корисне узагальнення формули інтегрування за частинами для звичайних інтегралів. Саме якщо і обидві абсолютно інтегровні на проміжку , a U() і V() визначаються інтегральними формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доведення, за формулою (11) замінимо інтеграл зліва інтегралом Стілтьєса и проінтегруємо за частинами:

залишається ще раз застосувати формулу (11) до останнього інтегралу, щоб прийти до (19)

Тут функції грають як би роль похідних від функцій не будучи ними насправді. При неперервності функцій і ми повертаємося до звичайної формули інтегрування за частинами, бо тоді

, . [2;7]

Делись добром ;)