Інтегральне числення

реферат

Невласні інтеграли. Ознаки збіжності невласних інтегралів

Раніше було введено визначений інтеграл як границю інтегральних сум, передбачаючи при цьому, що вiдрiзок інтегрування скiнченний, а пiдiнтегральна функція на цьому вiдрiзку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то наведене вище означення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можна розбити на п частинних вiдрiзкiв скiнченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно не має скiнченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на ці випадки, приходимо до невласного інтеграла -- інтеграла від функції на необмеженому проміжку або від необмеженої функції.

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a;) і інтегрована на будь-якому відрізку [a ; b], де . Тоді, якщо існує скінченна границя

(13),

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

(14)

Таким чином, за означенням

(15)

У цьому випадку інтеграл (14) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) - інтегрованою на проміжку (а;+).

Якщо ж границя (13) не існує або нескінченна, то інтеграл (14) називають також невласним але розбіжним, а функція f(x) - неінтегровною на [a;).

Аналогічно інтегралу (15) означається невласний інтеграл на проміжку [; b):

(16)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

(17)

де с - довільне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (17) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (17), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невідємна на проміжку [a;) і коли інтеграл (16) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 3.1)

рис. 3.1

Приклад:

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність

а) За формулою (15) маємо

Отже інтеграл а) збігається.

б)

Оскільки ця границя не існує, то інтеграл б) розбіжний.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла ґрунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхiдностi обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні.

Теорема 1. Якщо на проміжку функції f(x) і g(x)неперервні і задовольняють умову , то із збіжності інтеграла

(18)

випливає збіжність інтеграла

, (19)

а із розбіжності інтеграла (19) випливає розбіжність інтеграла (18).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 3.2); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скiнченне число, то площа меншої області є також скiнченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

рис. 3.2

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

оскільки :

і інтеграл збігається, то за теоремою 1 заданий інтеграл також збігається.

Теорема 2. Якщо існує границя то інтеграли (18) і (19) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

Ця ознака iнодi виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерiвностi .

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

оскільки інтеграл

збігається і ,

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невідємних функцій. У випадку, коли пiдiнтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл :

тут підінтегральна функція знакозмінна; оскільки

,

то заданий інтеграл збігається.

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію - абсолютно інтегровною на проміжку .

Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається.

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збiжнiсть інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збiжностi.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція визначена на проміжку . Точку х=b назвемо особливою точкою функції , якщо при (рис. 3.3)

рис. 3.3

Нехай функція на відрізку при довільному , такому, що тоді існує скінченна границя

, (20)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(21)

Отже, за означенням

= (22)

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (21) існує або збігається. Якщо ж границя (20) нескінченна або не існує, то інтеграл (21) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х=а - особлива точка (рис. 3.4), невласний інтеграл визначається так:

=

рис. 3.4

Якщо необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки , то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 3.5)

=+.

рис. 3.5

Нарешті, якщо а та b -- особливі точки, то за умови існування обох невласних iнтегралiв і за означенням покладають

=+,

де с - довільна точка інтервалу (a;b).

Приклад:

Обчислити невласний інтеграл:

= .

Отже інтеграл збіжний.

Сформулюємо тепер ознаки збiжностi для невласних iнтегралiв другого роду.

Теорема 4. Якщо функції і неперервні на проміжку [a;b), мають особливу точку х= b і задовольняють умову , то із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла , із розбіжності інтеграла випливає розбіжність .

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл : заданий інтеграл збігається, бо і збігається інтеграл .

Теорема 5. Нехай функції і на проміжку [a;b) неперервні, додатні і мають особливість точці х= b , тоді якщо існує границя

,

то інтеграли і або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл : функції f(x)= та = мають особливість у точці х=0. Оскільки =, і інтеграл розбігається, то заданий інтеграл також розбігається.

Теорема 6. Якщо х=b - особлива точка функції і інтеграл збігається, то інтеграл також збігається.

Приклад: дослідити на збіжність інтеграл .

Заданий інтеграл збігається, тому що і збігається інтеграл .

Делись добром ;)