Інтерполювання функцій
1.3 Інтерполяційні формули Гауса
При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).
В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці називаються центральними різницями, причому і т. д.
Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.
Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:
,
де , і для функції відомі її значення в цих вузлах , потрібно побудувати такий поліном степені не вище 2п, що . Із останньої умови випливає, що
(1. 3. 1)
для всіх відповідних значень і та k.
Будемо шукати поліном у вигляді:
Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:
Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо:
Далі вводячи змінну і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:
або, коротше,
де .
Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці
.
Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці . Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:
або, в скорочених позначеннях,
де .
Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга - при .