Інтерполювання функцій

курсовая работа

1.3 Інтерполяційні формули Гауса

При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).

В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці називаються центральними різницями, причому і т. д.

Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.

Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:

,

де , і для функції відомі її значення в цих вузлах , потрібно побудувати такий поліном степені не вище 2п, що . Із останньої умови випливає, що

(1. 3. 1)

для всіх відповідних значень і та k.

Будемо шукати поліном у вигляді:

Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:

Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо:

Далі вводячи змінну і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:

або, коротше,

де .

Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці

.

Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці . Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:

або, в скорочених позначеннях,

де .

Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга - при .

Делись добром ;)