Інтерполювання функцій
1.8.1 Приклад 1
Використовуючи першу і другу інтерполяційну формулу Ньютона і Гауса, а також інтерполяційні формули Стірлінга і Бесселя необхідно знайти значення функції , заданої таблицею (табл. 1) при значенні аргументу . При цьому крок .
Таблиця 1. Значення функції
xi |
yi |
|
1,50 |
15,132 |
|
1,55 |
17,422 |
|
1,60 |
20,393 |
|
1,65 |
23,994 |
|
1,70 |
28,160 |
|
1,75 |
32,812 |
|
1,80 |
37,857 |
Розвязання:
Складемо спочатку таблицю кінцевих різниць (табл. 2).
Таблиця 2. Кінцеві різниці
і |
xi |
yi |
?yi |
?2yi |
?3yi |
|
1,50 |
15,132 |
2,290 |
0,681 |
-0,051 |
||
1 |
1,55 |
17,422 |
2,971 |
0,630 |
-0,065 |
|
2 |
1,60 |
20,393 |
3,601 |
0,565 |
-0,079 |
|
3 |
1,65 |
23,994 |
4,166 |
0,486 |
-0,093 |
|
4 |
1,70 |
28,160 |
4,652 |
0,393 |
||
5 |
1,75 |
32,812 |
5,045 |
|||
6 |
1,80 |
37,857 |
При складанні таблиці різниць обмежимося різницями третього порядку, оскільки вони практично постійні.
· За першою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 7), приймаючи , (табл. 2), отримаємо:
;
;
· За другою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 11), приймаючи , (табл. 2), отримаємо:
;
;
· За першою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 4), приймаючи , , матимемо:
.
Отже, отримаємо:
· За другою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 6), приймаючи , , отримаємо:
;
· За інтерполяційною формулою Стірлінга, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) у формулу (1. 5. 1) отримаємо:
· За інтерполяційною формулою Бесселя, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) в формулу (1. 4. 3) отримаємо:
Тепер проведемо оцінку отриманих результатів. Введемо наступні позначення:
ІФН - інтерполяційна формула Ньютона;
ІФГ - інтерполяційна формула Гауса;
ІФБ - інтерполяційна формула Бесселя;
ІФС - інтерполяційна формула Стірлінга.
Для зручності результати запишемо у вигляді таблиці (табл. 3):
ІФН 1-ша |
ІФН 2-га |
ІФГ 1-ша |
ІФГ 2-га |
ІФБ |
ІФС |
|
20,7930 |
20,7929 |
20,7931 |
20,79486 |
20,5784 |
20,7930 |
Таблиця 3. Отримані результати.
Тепер визначимо похибку отриманих результатів. Для цього від значення, отриманого за допомогою першої ІФН, віднімемо результати, отримані зі допомогою інших формул. В результаті отримаємо таку розрахункову табличку (табл. 4):
ІФН 2-га |
ІФГ 1-ша |
ІФГ 2-га |
ІФБ |
ІФС |
|
0,00015 |
0,00013 |
0,00186 |
0,21457 |
0,00001 |
Таблиця 4. Абсолютні похибки результатів.
Тоді, щоб отримати відносну похибку результату, необхідно абсолютні похибки поділити на відповідні отримані наближені значення , отримані за формулами (1. 2. 7), (1. 2. 11), (1. 3. 4), (1. 3. 6), (1. 4. 3), (1. 5. 1). Тобто маємо (табл. 5):
ІФН 2-га |
ІФГ 1-ша |
ІФГ 2-га |
ІФБ |
ІФС |
|
0,00070% |
0,00062% |
0,00893% |
1,04270% |
0,00004% |
Таблиця 5. Відносні похибки.
Бачимо, найкраще наближення до значення, одержаного за ІФН 1-ою, досягається інтерполяційною формулою Стірлінга.
Висновок. Як зазначалося вище (див. пункт 1.6), ІФС краще використовувати, для інтерполювання в середині таблиці, в чому ми і переконалися в даному прикладі, оскільки знаходиться всередині таблиці.