Канонический вид произвольных линейных преобразований

курсовая работа

3) инвариантные множители.

Каждый раздел содержит определения, примеры, упражнения

1. Нормальная форма линейного преобразования

Мы знаем, что в базисе, состоящем из собственных векторов линейного преобразования n-мерного пространства, его матрица имеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму.

Однако число линейно независимых собственных векторов у линейного преобразования может быть меньше, чем n. Такое преобразование заведомо не может быть приведено к диагональной форме, так как базис, в котором матрица преобразования диагональна, состоит из собственных векторов. Возникает вопрос: каков простейший вид матрицы такого линейного преобразования?

В этой работе для произвольного преобразования указан базис, в котором его матрица имеет сравнительно простой вид (так называемая жорданова нормальная форма). В случае, когда число линейно независимых собственных векторов преобразования равно размерности пространства, эта нормальная форма совпадает с диагональной. Сформулируем окончательный результат.

Пусть задано произвольное линейное преобразование А в комплексном пространстве n измерений. Предположим, что у А имеется k (k n) линейно независимых собственных векторов

e1, f1, … , h1,

соответствующих собственным значениям 1, 2, … , k. Тогда существует базис, состоящий из k групп векторов:

e1, … , ep; f1, … , fq; … ; h1, … , hs, (1)

в котором преобразование А имеет следующий вид:

Ae1 = 1e1, Ae2 = e1 + 1e2, … , Aep = ep-1 + 1ep;

Af1 = 2e1, Af2 = f1 + 1f2, … , Afq = fq-1 + 2fq; (2)

Ah1 = kh1, Ah2 = h1 + kh2, … , Ahs = hs-1 + khs.

Мы видим, что базисные векторы каждой группы переходят при нашем преобразовании в линейную комбинацию векторов той же группы. Отсюда следует, что каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно преобразования А. Рассмотрим несколько подробнее преобразование, задаваемое формулами (2).

В подпространстве, порожденном каждой группой, есть собственный вектор; например, в подпространстве, порожденном векторами е1, е2, … , ер, таким собственным вектором является е1.

Вектор е2 называют присоединенным собственным вектором первого порядка. Это значит, что Ае2 пропорционально е2 с точностью до собственного вектора, как это видно из равенства

Ae2 = 1e2 + e1.

Аналогично е3, е4, … называют присоединенными векторами второго, третьего и т. д. порядков.

Каждый из них является «как бы собственным», т. е. собственным с точностью до присоединенного вектора низшего порядка

Aek = 1ek + ek-1.

Таким образом, базис каждого инвариантного подпространства состоит из одного собственного вектора и такого количества присоединенных, которое нужно добавить, чтобы получить базис данного подпространства.

В каждом из этих подпространств имеется , с точностью до множителя, лишь один собственный вектор.

Теорема. Пусть в комплексном n - мерном пространстве задано линейное преобразование А. Тогда можно найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет нормальную форму. Другими словами, можно найти базис, в котором линейное преобразование имеет вид (2).

2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

Уже упоминалось в п. 1, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т. е. когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (их точное определение будет дано чуть позже). В этом разделе дается способ построения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой способ выбора является , в некотором смысле. Наиболее естественным.

2.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

Пусть 0 - некоторое собственное значение преобразования А.

Определение 1. Вектор х 0 называется собственным вектором преобразования А, отвечающим собственному значению 0, если

Ах = 0х, т. е. (А - 0Е)х = 0. (1)

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном 0. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства R

Обозначим его . Легко видеть, что инвариантно относительно преобразования А.

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению 0, к которым добавлен еще нулевой вектор.

Определение 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению 0, если вектор

у = (А - 0Е)х

является собственным вектором преобразования А.

Пусть 0 - собственное значение преобразования А.

Подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие

(А - 0Е)2х = 0, (2)

т. е. ядро преобразования (А - 0Е)2 , обозначим . является инвариантным подпространством пространства R. А получается это подпространство, если к подпространству добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов х, для которых

(А - 0Е)kх = 0. (3)

Это подпространство инвариантно относительно преобразования А. Ясно, что подпространство содержит предыдущее подпространство .Определение 3. Вектор х называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор

у = (А - 0Е)х

есть присоединенный вектор порядка k-1.

Пример. Пусть R - пространство многочленов степени n-1 и преобразование А - дифференцирование:

АР(t) = P(t).

Легко видеть, что = 0 есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор P(t) = const. Найдем для этого преобразования подпространства . По определению состоит из всех многочленов P(t), для которых АkР(t) = 0, т. е.

Это будут все многочлены, степень которых не превышает k-1. Присоединенными векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна k-1.

2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение

Пусть 1 - некоторое собственное значение преобразования А. Пространство R можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение 1, а во втором у преобразования А уже нет собственного значения 1.

Не ограничивая общности, можно считать, что 1 = 0.

Действительно, пусть 1 0. Рассмотрим преобразование В = А - 1Е; оно уже имеет собственное значение, равное нулю. Очевидно также, что инвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.

Итак, будем считать, что преобразование А имеет собственное значение = 0. Докажем это утверждение сначала для частного случая, когда в пространстве нет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а есть только собственные векторы.

Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна R. В качестве первого из них, в котором = 0 есть единственное собственное значение, можно взять совокупность N0 всех собственных векторов, отвечающих собственному значению = 0 или, другими словами, ядро преобразования А.

В качестве второго подпространства возьмем образ М пространства R при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у = Ах, где х пробегает все пространство R. Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно.

Они дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования А равна n, то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.

Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор у 0 такой, что уМ и уN0. Так как уМ, то он имеет вид

у = Ах, (4)

где х - некоторый вектор из R. Так как уN0, то

Ау = 0, где у 0. (5)

Равенство (5) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению = 0, а равенство (4) при этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению = 0.

Таким образом доказано, что подпространства М и N0 не имеют общих векторов кроме нулевого.

Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна n, мы получаем отсюда, что пространство R разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и N0:

R = M + N0.

Замечание. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только случае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению = 0.

Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению = 0. Подпространство N0 при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающие собственному значению = 0. Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим.

Теорема. Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и . При этом подпространство состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению = 0, а в подпространстве преобразование А обратимо ( т. е. = 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве ).

Если 1 - некоторое собственное значение преобразования А, то пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств R1 и , в первом из которых преобразование А имеет только собственное значение 1, а во втором все собственные значения А отличны от 1.

Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве и к некоторому собственному значению 2 этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению 2. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорема. Пусть преобразование А пространства R имеет k различных собственных значений 1, … , k .. Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств , …, :

R = + … + . (6)

Каждое из подпространств состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению i .

Осталось еще только одна не менее важная задача - выбрать в каждом из этих подпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму.

2.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением

В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.

Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.

Определение. Векторы из пространства R называются относительно линейно независимыми над подпространством R1, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит R1.

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из R относительно линейно зависимы над любым пространством.

Определение. Базисом пространства R относительно подпространства R1 называется такая система е1, … , еk линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R1 образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из R1. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.

Итак, пусть преобразование А в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно, предположить, что оно равно нулю.

Делись добром ;)