Канонический вид произвольных линейных преобразований
3. Инвариантные множители
Определение. Матрицы А и А1 = С-1АС, где С - произвольная невырожденная матрица, называются подобными.
Если А1 подобна матрице А2, то и обратно, А2 подобна А1. Если две матрицы А1 и А2 подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой.
Пусть А - матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С-1АС, где С - матрица перехода от первого базиса ко второму. Таким образом, подобные матрицы - это матрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах.
Лемма. Если С - произвольная невырожденная матрица, то общие наибольшие делители миноров k-го порядка матриц А - Е и С(А - Е) совпадают. Аналогичное утверждение имеет место и для (А - Е)С.
Лемма. У подобных матриц многочлены Dk() совпадают.
Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из последней леммы вытекает следующая
Теорема. Пусть А - линейное преобразование. Тогда наибольший общий делитель Dk() миноров k-го порядка матрицы А - Е, где А - матрица преобразования А в некотором базисе, не зависит от выбора базиса.
Для того чтобы существовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели лишь простые корни.
Теорема. Для того чтобы две матрицы были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные множители совпадали.
Теорема. Нормальная форма линейного преобразования однозначно определяется самим линейным преобразованием.