Канонический вид произвольных линейных преобразований

курсовая работа

3. Инвариантные множители

Определение. Матрицы А и А1 = С-1АС, где С - произвольная невырожденная матрица, называются подобными.

Если А1 подобна матрице А2, то и обратно, А2 подобна А1. Если две матрицы А1 и А2 подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой.

Пусть А - матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С-1АС, где С - матрица перехода от первого базиса ко второму. Таким образом, подобные матрицы - это матрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах.

Лемма. Если С - произвольная невырожденная матрица, то общие наибольшие делители миноров k-го порядка матриц А - Е и С(А - Е) совпадают. Аналогичное утверждение имеет место и для (А - Е)С.

Лемма. У подобных матриц многочлены Dk() совпадают.

Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из последней леммы вытекает следующая

Теорема. Пусть А - линейное преобразование. Тогда наибольший общий делитель Dk() миноров k-го порядка матрицы А - Е, где А - матрица преобразования А в некотором базисе, не зависит от выбора базиса.

Для того чтобы существовал базис, в котором матрица преобразования диагональна, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители этой матрицы имели лишь простые корни.

Теорема. Для того чтобы две матрицы были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их инвариантные множители совпадали.

Теорема. Нормальная форма линейного преобразования однозначно определяется самим линейным преобразованием.

Делись добром ;)