Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков
В подразделах 1.1-1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0, (1.16)
2 ((a1-2) a - a1 (a1-2) b-a1d+c) ((a1-2) a+a1d)=0.
Причём а1?0, а1?2, в1=в2=с2=1.
1. Рассмотрим случай (a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0, (a1-2) a+a1d=0.
Из этих равенств получили:
а= -d, d?0
c=a1(a1-2) b+2a1d.
Так как коэффициент d можно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующих предположений, получаем:
b=2d,
a= -d, (1.17)
c=2a1(a1-1) d, d?0, а1?2.
Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b1=b2=с2=1, а1?0.
Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):
?=2 (a1-2),
?=(a1-2)2,
?=2 (2а1-3) d,
?=2 (а1-2) (2а1-3) d, (1.18)
?=(2а1-1) d2,
n=m,
p=md, m?0, d?0, a1?2, a1?0.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 1.3 Система
Имеет частные интегралы вида:
y2+2 (a1-2) xy+(a1-2)2x2+2 (2a1-3) d+
+2 (a1-2) (2a1-3) dx+(2a1-1) d2=0
и (a1-2) x+y+(2a1-3) d=0,
При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.17) и в1=в2=с2=1.
2. Рассмотрим случай:
(a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0.
Выразим из этого условия коэффициент с, получим
с= a1(a1-2) b+ a1d - (a1-2) a.
Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2d, d?0, тогда коэффициент с=а1(2а1-3) d - (а1-2) а.
Так как d-любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а1d.
Из соотношения (a1-2) a-a1(a1-2) b+c-a1d =0, при условиях, что b=2d, a=2a1d, d-любое число, d?0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а1 и коэффициент d, то есть: a=2a1d,
b=2d, (1.19)
c=a1d.
Равенства (1.6) - (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):
?=2 (a1-2),
?=(a1-2)2,
?=2 (а1-1) d,
?=2 (a1-) (a1-2) d, (1.20)
?=(a1-)2d2,
n=m,
p=md, a1?2, d?0, m?0.
Теорема 1.4 Система
2a1dx+2dy+a1x2+2xy,
=a1dx+dy+2xy+y2
Имеет частные интегралы вида:
y2+2 (a1-2) xy+(a1-2)2x2+2 (a1-1) dy+2 (a1-) (a1-2) dx+(a1-)2d2=0
и
(a1-2) x+y+(2a1-3) d=0,
При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.19) и в1=в2 =с2=1, а1?2, а1?0, d-любое число.