2.2 Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем

Рассмотрим систему (1.1) в предположении, что в₁=в₂=с₂=1, а₁=

и коэффициенты определяются формулами (1.19). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

(2.7)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

4y²-4xy+x²+dy=0, (2.8)

-x+y=0. (2.9)

Найдём состояния равновесия системы (2.7). Для этого приравняем правые части системы нулю:

Решая эту систему, получим две пары точек, которые являются точками покоя системы (2.7): О (0,0), А().

Исследуем поведение траекторий решений системы (2.7) в окрестностях состояний равновесия О (0,0), А().

1. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы в точке О (0,0):

=0,

.

Характеристическими числами для точки О (0,0), будут

Так как один корень нулевой, тогда точка О (0,0) является сложным состоянием равновесия (изолированное состояние равновесия), для которого требуется дополнительное исследование. Для определения характера состояния равновесия О (0,0) воспользуемся теоремой [5].

Теорема 2.1 Пусть точка (0,0) - изолированное состояние равновесия системы:

где ? (x, y), ? (x, y) - полиномы от x, y начиная со второй степени, y=?(x) - решение уравнения y+Q₂(x, y)=0, а разложение функции ?(x)=P₂(x, ?(x)) имеет вид:

Тогда:

1) при m-нечётном и ?_m>0 точка (0,0) - есть топологический узел;

2) при m-нечётном и ?_m<0 точка (0,0) - есть топологическое седло;

3) при m-чётном точка (0,0) есть седло-узел, то есть такое состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболического и двух гиперболических секторов; При этом:

а) если ?_m<0, то внутри гиперболических

секторов заключён отрезок положительной

полуоси ОХ, примыкающий к точке (0,0);

б) если ?_m<0, то - отрезок отрицательной

полуоси ОХ.

Чтобы воспользоваться теоремой, необходимо систему (2.7) привести к виду:

(2.10)

Это возможно сделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований:

1. если в?0,

2. если в=0, а=0,

3. если в=0, d=0,

где а, в, с, d - коэффициенты системы (2.7).

Для системы (2.7) воспользуемся следующим преобразованием:

Получим:

Откуда:

Следовательно, можем найти:

Тогда:

Чтобы данную систему привести к системе вида (2.10), сделаем замену тогда dt=dh и получим систему:

Найдём решение уравнения:

y₁+ (2.11)

в виде ряда по степеням y₁:

y₁=?(x₁)=c₁x₁+c₂x₁²+….

Подставим y₁=c₁x₁+c₂x₁²+… в уравнение (2.11), получим:

c₁x₁+c₂x₁²+ … +(c₁x₁+c₂x₁²+…)²+x₁(c₁x₁+c₂x₁²+…)-x₁²=0.

x₁¹: с₁=0,

x₁²: с₂+с₁+с₁=0,

Следовательно с₁=0, с₂=, ….

Тогда y₁=?(x₁)= х₁²+….

Находим ?(х₁)=Р₂(х₁,?(х₁))=(+……)= +……..=?_mx^m.

Получили m=3-нечётное, ?_m>0.

Следовательно, по теореме 2.1 получаем, что точка О (0,0) - топологический узел.

2. Исследуем точку А().

Составим характеристическое уравнение в точке А().

Отсюда

P_x(x, y)=3d+3x+2y,

P_y(x, y)=2d+2x,

Q_x(x, y)=d+2y,

Q_y(x, y)=d+2x+2y.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

=0.

Характеристическими числами для точки А() системы (2.7) будут ?₁=-4d, ?₂=d.

Корни ?₁, ?₂-действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, тогда точка А() - неустойчивый узел; если d>0, тогда точка А() - устойчивый узел.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости системы (2.7) вне концов оси ОУ. Преобразование [1] переводит систему (2.7) в систему:

(2.12)

где t=z?, dt=zd?.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть z=0. Получаем:

Следовательно, u₁=0, u₂=.

Таким образом, получили две точки N₁(0,0), N₂(0,), которые являются состояниями равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1. Исследуем точку N₁(0,0).

Составим характеристическое уравнение в точке N₁(0,0):

=0,

?₁= , ?₂=.

Корни ?₁,?₂-действительные и различных знаков, следовательно, точка N₁(0,0) - седло.

2. Исследуем точку N₂(0,).

Составим характеристическое уравнение в точке N₂(0,):

P_z=-2u-6dz-4duz,

P_u=-2z-2dz²,

Q_z=d-2du-2du²,

Q_u=-2u-2dz-4duz.

Характеристическое уравнение имеет вид:

=0.

Следовательно, характеристические числа:

?₁=, ?₂=.

Корни ?₁,?₂-действительные, различных знаков, значит точка N₂(0,) является седлом.

Исследуем бесконечно-удалённые концы оси ОУ с помощью преобразования [1] x=, y=.Это преобразование переводит (2.7) в систему:

где t=z?, dt=zd?.

Для исследования состояний равновесия на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку (0,0), которая является состоянием равновесия данной системы. Составим характеристическое уравнение в точке (0,0):

=0.

Корни ?₁,?₂-действительные и различных знаков, значит точка (0,0) - седло.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.7) в виде таблицы 2.

Таблица 2

Положение кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 даётся соответственно рис. 2 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.7) в целом при d<0, d>0 представлено на рис. 4 (а, б) приложения Б.

Так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса, тогда исследуя вид кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.7) не имеет предельных циклов.

a) d<0

б) d>0

Рис. 2