Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

дипломная работа

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Пусть система (1.1) имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где Fk (x,y) - однородные полиномы от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмем параболу вида:

F (x,y) y+1 x2 +2 x+3 = 0 (1.3)

Будем предполагать, что 3 0, то есть парабола не проходит через начало координат.

Согласно [10, с.1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

, (1.4)

где L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постоянные.

Тогда следуя формуле (1.4) получим равенство:

(21x+2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = = (y+1x2+2x+3) (px+my+n).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xm yn слева и справа, получим равенства:

(2a1-p) 1= 0 (1.51)

(4b1-m) 1= 0 (1.52)

21c1= 0 (1.53)

(2a-n) 1+ (a1-p) 2+a2= 0 (1.61)

21b+ (2b1-m) 2+2b2+p= 0 (1.62)

2c1+c2-m= 0 (1.63)

(a-n) 2-p3n+c= 0 (1.71)

2b-3m+d-n= 0 (1.72)

3n= 0 (1.73)

Пусть 1 0, тогда из равенств (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) и (1.73) получаем, что

P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)

Из соотношений (1.61), (1.62) и (1.71) найдем выражения коэффициентов кривой (1.3) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

1, (1.9)

2, (1.10)

3. (1.11)

Равенство (1.72) с учетом полученных выражений (1.9) - (1.11), даст условие, связывающее коэффициенты a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:

(1.12)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.3), коэффициенты которого выражаются формулами (1.9) - (1.11), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.12) и c1= 0, c2= 4b1, a10, 2b1a-a1b0.

Делись добром ;)