§1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.

Пусть k=р^а, где р> 2 -- простое число, б?1. Как известно, по модулю k существуют первообразные корни, и пусть g -- наименьший из них. Через ind n будем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю k при основании g, т. е. число г = г(п) = ind n такое, что

(mod k).

Определение 1.1. Характером по модулю k= р^а, р>2 -- простое, б? 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция ч(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что

где т -- целое число.

Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом ц(k), т. е. существует, вообще говоря, ц(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, ..., ц(k) - 1.

Пусть теперь k = 2^б, б? 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов г₀ = г₀(п) и г₁ = г₁(n) по модулю k, т. е. такие числа г₀ и г₁ , что

Таким образом, числа г₀ и г₁ определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2^б-2.

Определение 1.2. Характером по модулю к = ^2б, б?1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:

Где m₀ , m₁ целые числа.

Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т₀ и m₁является периодической по m₀ и m₁, с периодами соответственно 2 и 2^б-2 т. е. существует, вообще говоря, ц(k), =< ц(k^б) характеров по модулю k = 2^б, которые получаются, если брать m₀ , равным 0, 1, а m₁ равным 0, 1, ..., 2^б-2 - 1.

Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера ч (п):

1. по модулю k-- периодическая с периодом k функция, т. е.

;

2. --мультипликативная функция, т. е.

Очевидно также, что

ч(1) = 1.

L-ряды Дирихле -- функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.

Пусть k -- натуральное число и ч -- какой-либо характер по модулю k.

Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:

Ввиду того, что|ч(n)|?1, следует аналитичность L(s, ч) в полуплоскости Re s>l. Для L(s, ч) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).

Лемма 1.1. При Re s > 1 справедливо равенство

Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию

Так как Re s > 1, то

следовательно,

(воспользовались мультипликативностью ч(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,

где у=Re s>l. Переходя в (2) к пределу Х>+?, получим утверждение леммы.

Из (1) находим

т. е. L(s, ч)?0 при Re s>l. Если характер ч по модулю k является главным, то L(s, ч) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ж(s).

Лемма 1.2. Пусть ч(n) = ч ₀(n) по модулю k. Тогда при Re s> 1

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера ч₀(n).

Следствие. L(s, ч) -- аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным

Если характер ч(n) является производным, a ч₁(n) -- примитивный характер по модулю k₁, k_tk, отвечающий ч(n), то L(s, ч)лишь простым множителем отличается от L(s, ч₁).

Лемма 1.3. Пусть ч₁-- примитивный характер по модулю k₁ и ч -- индуцированный ч₁ производный характер по модулю k, k_t ? k. Тогда при Re s > 1

Доказательство леммы следует из (1) и свойств ч₁ и ч.

Функцию L(s, ч) можно продолжить в полуплоскость Re s > 1

Лемма 1.4. Пусть ч?ч₀, тогда при Re s>0 справедливо равенство

Где

Доказательство. Пусть N ?1, Re s>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь

Где

Переходя к пределу N > +?, получим (8) при Re s>l. Но |S(x)|?ц(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Re s > 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.