Класифікація неперервних функцій за порядками їх найкращих наближень
1. Основні означення та властивості
Означення 1.1. Нехай на проміжку задана функція . Візьмемо будь-яке додатне число і розглянемо всі пари чисел і , які належать і задовольняють наступну нерівність
Точна верхня межа чисел
називається модулем неперервності функції .
Властивості модуля неперервності.
I. Функція монотонно зростає. Дійсно, якщо то множина пар які задовольняють умову ширше, ніж множина таких пар, для яких . Зважаючи на те, що при розширенні числової множини її точна верхня межа може хіба лише збільшитись, ясно те, що
II. Для того, щоб функція була рівномірно неперервна на проміжку необхідно та достатньо, щоб
III. Якщо - натуральне число, то
Дійсно, нехай
Розібємо сегмент на рівних частин точками
Очевидно, що
З іншого боку, звідки
і тому
Властивість доведена.
IV. При будь-якому додатному
Дійсно, нехай є ціла частина , така що . Тоді
Означення 1.2. Якщо функція задана на проміжку і при всіх і із цього проміжку задовольняє нерівність
то кажуть, що функція задовольняє умову Ліпшиця з показником і коефіцієнтом , і пишуть
Інакше кажучи, є клас всіх функцій, які задовольняють умову Ліпшиця даного порядку із заданим коефіцієнтом , а є класом функцій, які задовольняють умові Ліпшиця порядку з будь-яким коефіцієнтом.
Означення 1.3. Найкраще наближення. Для будь-якої обмеженої вимірної функції , заданої на кінцевому відрізку , і будь-якого натурального існує звичайний многочлен
степеня не вище , що найменш ухиляється від неї на цьому відрізку, тобто такий, що серед усіх інших многочленів , які мають степінь, не більше ніж , реалізує найменше значення для відхилення
Означення 1.4. Нехай функція належить , тобто неперервна і має період . Взявши будь-який тригонометричний поліном порядку не вище , покладемо
Будемо називати цю величину відхиленням полінома від функції . Змушуючи поліном пробігати всю множину - множина усіх тригонометричних поліномів порядку не вище . ми отримаємо цілу множину невідємних відхилень . Точна нижня межа
цієї множини називається найменшим відхиленням поліномів із від або найкращим наближенням до поліномами із .
Означення 1.5. Нехай - натуральне число. Будемо казати, що функція є модуль неперервності -го порядку функції , якщо
де - кінцева різниця функції -го порядку з шагом :
Властивості модуля неперервності -го порядку.
Лема 1.1. Для будь-якого натурального і будь - якого
Лема 1.2. Нехай і - натуральні числа, Тоді для будь-якого
і
Доведення. Покладемо
Тоді для маємо
звідки
Звідси при випливає (1.2), а при - (1.3).
Вважаючи в (1.3) , знаходимо, що
Із останньої нерівності видно, що для будь-якого натурального
Лема 1.3. Для будь-якого натурального модуль неперервності -того порядку є неперервною функцією від .
Доведення. Нехай Маємо
Звідси
і
Таким чином,
і так як при , то звідси випливає неперервність функції , і лема доведена.
Лема 1.4. Нехай і - натуральні числа. Тоді для будь-якого
Доведення. Індукція по дає формулу
Звідси
і
Лема 1.5. Нехай - натуральне число Тоді
Якщо, крім того, , то
Доведення. Доведемо спочатку нерівність (1.6). Ця нерівність очевидна для . Розглянемо . Знайдемо натуральне число із умов
Тоді , і так як є не спадаючою функцією від , то, приймаючи до уваги (1.5) і (1.8), отримаємо
і нерівність (1.6) доведена.
Нерівність (1.7) випливає із (1.6), так як для
Нерівність (1.7) показує, що для будь-якого і будь-якого натурального
Лема 1.6. Нехай має -ту похідну Тоді
і для будь-якого натурального
Доведення. Обидві нерівності безпосередньо випливають із формули
Означення 1.6. Нехай . Тоді модуль неперервності
де
Означення 1.7. Нехай - клас функцій, що визначені на сегменті і задовольняють умову Діціана і Тотіка
Теорема 1.1. Діціана і Тотіка.[3]. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб