5. Теорема про рівність класу Ліпшиця і класу Діціана і Тотіка

Розглянемо клас Ліпшиця порядка :

Нехай функція , :

Де

Зробимо заміну змінних. Нехай , де .

Функція .

За теоремою Джексона (2.1) існує тригонометричний поліном , порядку не вище , для якого справедлива оцінка:

Відомо, якщо функція - парна, то тригонометричний поліном - також буде парним. Тоді він матиме вигляд:

Доведемо, що поліном можна представити у вигляді:

Для доведення рівності (5.3) скористаємося відомими тригонометричними формулами:

Із формули (5.5) справедлива наступна лема.

З формули (5.4) та леми 5.1 отримаємо:

Рівності (5.6) доводить справедливість рівності (5.3).

Отже, виходячи із оцінки (5.1) та рівності (5.3), отримаємо наступне:

повернемося до заміни :

Далі, застосуємо обернену теорему Діціана і Тотіка:

Отже, ми довели наступне, що якщо , тоді також. (5.10)

Доведемо це твердження у зворотній бік. Нехай відомо, що

Тоді, за прямою теоремою Діціана і Тотіка, існує поліном , для якого виконується нерівність:

Знову, вводимо заміну: , де .

З (5.11) одержимо

Застосувавши обернену теорему Бернштейна, отримаємо те, що

Тобто, показали, якщо , то (5.14)

Отже, можна зробити висновок. Із тверджень (5.10) і (5.14) випливає наступна рівність

.

Тобто ми довели, що клас Ліпшиця дорівнює класу Діціана і Тотіка.