Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

контрольная работа

2.2 Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности. Уравнение теплопроводности выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды уравнение теплопроводности имеет вид Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.: Приор, 2002. - с. 98.:

,

где r -- плотность среды; cv -- теплоёмкость среды при постоянном объёме; t -- время; х, у, z -- координаты; Т = Т (х, у, z, t) -- температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; l -- коэффициент теплопроводности; F = F (x, y, z, t) -- заданная плотность тепловых источников. Величины r, Cv, l зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо l содержит тензор теплопроводности lir, где i, k = 1, 2, 3.

В случае изотропной однородной среды уравнение теплопроводности принимает вид Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967. - с. 155.:

,

где DT -- оператор Лапласа, a2 = l/(rcv) -- коэффициент температуропроводности; f = F/(rcv). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в уравнение Пуассона DТ = f/a2 = F/l или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение DТ = 0. Основными задачами для уравнения теплопроводности является Коши задача и смешанная краевая задача.

Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским, А. Н. Тихоновым, С. Л. Соболевым.

- простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

Для этого уравнения полуплоскость  служит зоной эллиптичности, полуплоскость у < 0 - зоной гиперболичности, а прямая у = 0 - зоной параболичности.

Делись добром ;)