Классификация поверхностей второго порядка
1. Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка задаются в некоторой аффинной системе координат уравнением:
При этом требуется, чтобы квадратичная часть была отлична от нуля. Если ввести обозначения:
то уравнение примет вид:
Определение. Алгебраической поверхностью второго порядка (квадрикой) называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:
,
где по крайней мере одна из шести величин A, B, C, D, E, F не равна нулю. Если это уравнение не удовлетворяется ни одной действительной точкой x=(x1, x2, x3), то говорят, что оно определяет мнимую поверхность.
Теорема Пусть в некоторой прямоугольной системе координат задана квадратичная часть q(x, y, z). Тогда найдется другая прямоугольная система с тем же началом, в которой квадратичная часть примет диагональный вид:
q (x?, y?, z?) + л1(x?)2+ л 2(y?)2+ л 3(z?)2
где л1,л2,л3- собственные значения Q, то есть корни характеристического многочлена :
Xq(л)=det(Q- лE)=0,
а новые базисные вектора e1 e2 e3 являются соответствующими собственными векторами. В частности, все собственные значения вещественны, а собственные вектора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Лемма. Для любого многочлена второй степени в пространстве существует прямоугольная система координат, в которой он принимает один из следующих пяти видов:
(I) F= л1x2 + л2y2 + л3z2 + ф (л1 л2 л3 ?0);
(II) F=л1x2 + л2y2 + 2b3z (л1 л2 b3?0);
(III) F= л1 x2 + л2 y2+ ф (л1 л2 ?0);
(IV) F= л1 x2 + 2c2y (л1 c2 ?0);
(V) F= л1 x2 + ф (л1 ?0);
Доказательство. В силу предыдущей теоремы можем найти такую прямоугольную систему, в которой квадратичная часть диагональна, то есть:
F= л1x2 + л2y2 + л3z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + b0=0
Рассмотрим все возможные случаи.
(I). При л1 л2 л3 ?0 имеем:
F=л1(x + b1/ л1)2 +л1 (y + b2 / л2)2 + л3(x + b3 / л3)2 + (b0 - (b1)2/ л1 - (b2)2/ л2 - (b3)2/ л3) = л1(x)2 + л2(y)2 + л3(z)2 + ф.
(II) При л3 =0 и л1 л2 b3 ? 0 имеем:
F = л1(x+b1/ л1) 2 + л1(y+ b2/ л2) 2 + 2b3z + (b0 - (b1)2/ л1 - (b2)2/ л2)=л1(x)2 + л2(y)2 + 2b3z + ф = л1x2 + л2y2 + 2b3(z+ ф /2b3)= л1x2 + л2y2 + 2b3z.
(III) При л3= b3 =0 и л1 л2 ? 0 имеем:
F = л1(x+b1/ л1) 2 + л1 (y+ b2/ л2) 2 + (b0 - (b1)2/ л1 - (b2)2/ л2) = л1(x)2 + л2(y)2 + ф.
(IV) При л3= л 2=0, л1?0 и хотя бы один из b2 и b3 не равен нулю. Тогда имеем:
F = л1(x + b1/ л1) 2+ 2b2y + 2b3z + (b0 - (b1)2/ л1) = л1(x)2 + 2c2y.
Где:
x = x + b1/ л1, c2 = ((b2)2+(b3)2)1 / 2
y = ((b2)2 +(b3)2)-1/2 (b2y + b3z + 1/2(b0 - (b1)2/ л1))
z=((b2)2 +(b3)2)-1/22 (- b3y + b2z).
Такая "нормировка" функций перехода гарантирует ортогональность соответствующей матрицы и, тем самым ортогональность замены.
Если же b2 = b3 = 0, то мы сразу имеем выражение конечного вида.
(I). Пусть л3 = л2 = b2 = b3 = 0 и л1 ?0. Тогда имеем:
F = л1(x + b1/ л1) 2 + (b0 - (b1)2/ л1) = л1(x)2 + ф.
Лемма доказана.