Классические парадоксы теории вероятностей

контрольная работа

1.1 Парадоксы, разрешение которых способствовало возникновению и развитию теории вероятностей и ее приложений

вероятность парадокс бернулли бертран

Парадоксы, по определению, резко расходятся с общепринятым, традиционным мнением, но они всегда опираются на конкретную теорию и являются истинным.

Особой известностью пользуются парадоксы в логике. По сути, само определение парадокса позаимствовано из логики. Именно в ней и появились первые парадоксы. Рассмотрим некоторые из них.

Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс "Лжец", сформулированный греческим философом Эвбулидом из Милета в IV веке до н.э. (На самом деле этот парадокс еще древнее; он восходит к Эпимениду, жившему в VI веке до н.э. на острове Крит.)

Имеются различные варианты этого парадокса. В простейшем варианте "Лжеца" человек произносит всего одну фразу: "Я лгу", или говорит: "Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным". Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.

Данный парадокс можно переформулировать и так. Допустим, что на лицевой стороне карточки стоят слова: "На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание" -- и ничего более. Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы находим на ее обороте слова: "На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание" -- и опять-таки ничего более. Предположим, что утверждение на лицевой стороне -- истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. Выходит, что данное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным. Но это противоречит принципу исключенного третьего. Парадокс ошеломляющий. Он произвел громадное впечатление на греков. Ходит даже легенда, что он привел к самоубийству некоего Филита Косского. Этот парадокс разбил Аристотель и многие другие логики, жившие позднее. Некоторые философы считали, что поскольку рассматриваемое утверждение содержит ссылку на самое себя, то оно просто не имеет смысла, а бессмысленные высказывания должны быть исключены из языка.

Самым известным, из уже открытых в нашем веке парадоксов, является парадокс Рассела, который формулируется следующим образом: ПустьK--множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит лиKсамо себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента". Если предположить, что K не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь K -- множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя.

Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации М, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы не выводимым.

Действительно, допустим, что множествоUвсех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множествоK, элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множестваKприводит к парадоксу Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теорииM, утверждение о существовании множества U не выводимо в этой теории, что и требовалось доказать.

В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело -- Френкеля, теория Неймана -- Бернайса -- Гёделя и т.д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятия «множества» и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.

Рассел и Уайтхед разрешили данный парадокс введя требование: «То, что содержит все элементы множества, не должно быть элементом того же самого множества».

Делись добром ;)