Классы Фиттинга конечных групп
§1. Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы
Для того, чтобы ввести определение группы, введём определения декартового произведения множеств и бинарной алгебраической операции.
О.1.1. Декартовым произведением множеств A и B называется множество
C = {(a, b) | aA bB}, и обозначается AЧB = C. То есть, С представляет собой множество всех пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй - множеству B.
О.1.2. Декартовым квадратом множества A называется декартово произведение самого множества A на себя, то есть AЧA = {(a1, a2) | a1, a2A}.
О.1.3. Бинарной алгебраической операцией (сокращённо б.а.о.) на множестве Х называют отображение декартова квадрата XЧX в X. Если ц: XЧX>X - бинарная алгебраическая операция на множестве X, то каждой упорядоченной паре (a, b) элементов из X соответствует однозначно определённый элемент c = ц(a, b) из X.
Бинарную алгебраическую операцию на множестве X обозначают одним из следующих значков: +, *, Ч, ·, ?,,, и т.д.
Чаще всего используют две формы записи операций: аддитивную и мультипликативную. При аддитивной форме записи операцию называют сложением и вместо c = a?b пишут c = a+b. При мультипликативной форме записи операцию называют умножением и вместо c = a?b пишут с = a•b или проще c = ab.
В дальнейшем, в данной работе мы будем пользоваться мультипликативной формой записи операции.
Теперь введём определение группы.
О.1.4. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией (умножением) называется группой, если выполняются следующие условия:
1) заданная операция полностью определена на G, т.е. abG для любых для любых a, b G;
2) операция ассоциативна, т.е. a(bc) = (ab)c для любых a, b, c G;
3) в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент eG, что ea = ae = a для любых aG;
4) для каждого элемента из G существует обратный элемент из G, т.е. для любого aG существует такой элемент a-1G, что aa-1 = a-1a = e.
Если операция коммутативна, т.е. ab = ba для любых a, bG, то группа называется коммутативной или абелевой.
О.1.4. Порядком группы G называется число элементов в группе и обозначается |G|=n, если группа имеет конечное число элементов и |G|=?, если группа имеет бесконечное число элементов.
В дальнейшем, в данной работе мы будем рассматривать конечные группы, т.е. группы с конечным порядком. Простейшим примером конечной мультипликативной группы может служить группа {-1, 1} с алгебраической операцией умножения. Порядок такой группы будет равен двум.
О.1.5. Подмножество H группы G называется подгруппой G, если H является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается H ? G (H подгруппа G). Так же, используется обозначение H < G - H собственная подгруппа в G, т.е. H ? G и H ? G.
При выявлении подгрупп важную роль играет следующая теорема:
Теорема 1.1. (Критерий подгруппы).
Непустое подмножество H группы G является подгруппой в том, и только в том случае, когда h1h2H и h1-1H для любых h1, h2H.
О.1.6. Две группы G и G1 являются изоморфными, если существует биекция (взаимно однозначное отображение) f: G > G1 такая, что f(ab) = f(a)f(b) для любых a, bG. Запись GG1 означает, что группа G изоморфна группе G1.
О.1.7. Пусть G - группа, H - подгруппа в G и gG. Тогда множество
Hg = {hg | hH} называется правым смежным классом группы G по подгруппе H.
Аналогично определяется левый смежные класс gH = {gh | hH}.
Приведём некоторые свойства смежных классов, полагая, что G - группа, а H - её подгруппа:
Теорема 1.2.
1) H = He;
2) gHg для любого gG;
3) если aH, то Ha = H; если bHa, то Hb = Ha;
4) Ha = Hb тогда и только тогда, когда ab-1H;
5) Два смежных класса либо совпадают, либо из пересечение пусто;
6) Если H - конечная подгруппа, то |Hg| = |H| для любого gG
О.1.8. Число различных правых смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в G и обозначается |G : H|.
Теорема 1.3. (Лагранжа).
Если H - подгруппа конечной группы G, то |G| = |H||G : H|. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.
О.1.9. Подгруппа H группы G называется нормальной подгруппой группы G, если xH = Hx для любых xG, и обозначается HG (H - нормальная подгруппа группы G).
В каждой группе G тривиальные подгруппы являются нормальными подгруппами.
О.1.10. Группа G называется простой, если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп.
Единичную группу Е считают непростой.
О.1.11. Нормальная подгруппа N группы G называется минимальной, если она не имеет нетривиальных подгрупп группы G и обозначается NG.
О.1.12. Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G и обозначается Soc G.
О.1.13. Пусть Т -- непустое подмножество группы G. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом множества Т, называется централизатором множества Т в группе G и обозначается через CG(T).
О.1.14. Центром группы G называется совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом группы G. Центр группы G обозначается через Z(G).
Ясно, что Z(G) = CG(G), т.е. центр группы G совпадает с централизатором подмножества G в группе G. Кроме того, Z(G)=.
О.1.15. Если Т - непустое подмножество группы G и gG, то gT={gt | tT} и Tg={tg | tT}.Элемент gG называется перестановочным с подмножеством Т, если gT=Tg.
Равенство gT=Tg означает, что для любого элемента t1T существует такой элемент t2T, что gt1=t2g. Если элемент g перестановочен с подмножеством Т, то gT=Tg и T=g-1Tg=Tg.
О.1.16. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с подмножеством Т называется нормализатором подмножества Т в группе G и обозначается через NG(T).
И так, NG(T)={gG | gT = Tg} = {gG | Tg=T}.
О.1.17. Совокупность ={xH | xG} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией (xH)(yH)=xyH образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)-1 = a-1H. Группа G называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается G/H.
Если группа конечная, то фактор-группа любой группы G по нормальной подгруппе H так же будет группой конечного порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е. |G/H| = |G:H| = |G|/|H|.
О.1.18. Пусть H - подгруппа группы . Цепь подгрупп , в которой для любого i=1, 2, … , t, называется субнормальной (G-H)-цепью, а число t - длиной этой цепи. Наименьшее t, при котором существует хотя бы одна субнормальная (G-H)-цепь длины t, называется дефектом подгруппы H в G и обозначается через |G-H|.
О.1.19. Пусть - подгруппа группы H. Если существует хотя бы одна субнормальная (G-H)-цепь, то подгруппа называется субнормальной и означается HG.
Теорема 1.4. (Силова).
Пусть конечная группа G имеет порядок pms, где p - простое число и p не делит s. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) в группе G существует подгруппа порядка pi для любого i = 1, 2, … , m;
2) если H - p-подгруппа и P - подгруппа порядка pm, то существует такой элемент aG, что H ? Pa;
3) любые две подгруппы порядка pm сопряжены;
4) число подгрупп порядка pm в группе G сравнимо с единицей по модулю p и делит s.
О.1.20. Силовской p-подгруппой конечной группы G называется такая
p-подгруппа, индекс которой не делится на p.
Следствие 1.1.
Пусть конечная группа G имеет порядок pms, где p - простое число и p не делит s. Тогда:
1) существует силовская p-подгруппа и её порядок равен pm;
2) каждая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе;
3) любые две силовские p-подгруппы сопряжены;
4) число силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p и делит s.
Лемма 1.1. (Фраттини)
Если K - нормальная подгруппа конечной группы G и P - силовская
p-подгруппа из K, то G=NG(P)K.
группа фиттинг класс произведение