§2. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы

О.1.21. Группа называется нильпотентной, если все её силовские подгруппы нормальны.

О.1.22. Группа называется нильпотентной, если обладает нормальным рядом E=G0 ? G1 ? … ? Gn = G, где GiG для всех i=0, 1, … , n-1 и Gi/Gi-1 содержится в центре группы G/Gi-1 для всех i=1, 2, … , n.

Нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.

О.1.23. Коммутатором элементов a и b называется элемент a-1b-1ab, и обозначается через [a, b].

О.1.24. Подгруппа группы G, состоящая из коммутаторов всех элементов группы G называется коммутантом группы G и обозначается G.

О.1.25. Для группы G можно построить цепочку коммутантов:

G ? G ? G” ? … G(i) ? G(i+1) ? … Если существует номер n, такой что G(n)=E, то группа G называется разрешимой. Наименьшее натуральное число n, для которого G(n)=E, называется производной длиной группы G и обозначается через d(G).

О.1.26. Группа называется разрешимой, если она обладает нормальным рядом E=G0 ? G1 ? … ? Gn = G, где GiG для всех i=0, 1, … , n-1 и факторы Gi/Gi-1 абелевы для всех i=1, 2, … , n.

О.1.27. Группа, которая не является разрешимой называется неразрешимой.

О.1.28. Группа G называется сверхразрешимой, если она имеет нормальный ряд с циклическими факторами, то есть E ? G0 ? G1 ? … ? Gn-1 ? Gn = G, где GiG для любого i, i=0, …, n и Gi/Gi-1 - фактор-группы, i=1, …, n.

Пусть - множество всех простых чисел, а р - некоторое множество простых чисел, т.е. р. Дополнение к р на множестве будем обозначать через р, т.е. р=р.

Также, будем использовать функцию р(m) - множество всех простых чисел, делящих натуральное число m. Если G - группа, то вместо р(|G|) будем писать р(G).

О.1.29. Зафиксируем множество простых чисел р. Если р(m)р, то число m называется р-числом.

О.1.30. Подгруппа H группы G называется р-подгруппой, если |H| есть р-число.

О.1.31. Подгруппа H называется р-холловой подгруппой, если |H| является

р-числом, а индекс |G:H| - р-числом.

О.1.32. Подгруппа H группы G называется холловой подгруппой, если H -

р-холлова подгруппа для некоторого множества р.

Другими словами, H является холловой подгруппой в том, и только в том случае, когда (|H|,|G:H|)=1, т.е. порядок H взаимно прост с индексом группы G по подгруппе H.