Классы Фиттинга конечных групп

дипломная работа

§1. Простейшие свойства классов Фиттинга

В этом параграфе мы приводим определение классов групп, классов Фиттинга и простейшие свойства классов Фиттинга.

О.2.1. Класс групп - это множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы. Например, A - класс всех абелевых групп, G - класс всех конечных групп.

О.2.2. Если X и F классы групп, причём FX, то F называют подклассом класса X, или, коротко, X-классом.

Если р - некоторое множество простых чисел и X - класс групп, то через Xр обозначается класс всех р-групп из X. Xр=XGр. Группы из класса Xр называют также р-группами.

О.2.3. Класс X называется нормально наследственным или классом, замкнутым относительно нормальных подгрупп, когда выполняется требование: если GX и NG, то NX.

Очевидно, что если класс X замкнут относительно нормальных подгрупп, то X замкнут относительно субнормальных подгрупп, т.е. если GX и NG, то NX.

О.2.4. Класс X называется замкнутым относительно произведений нормальных подгрупп, когда выполняется требование: если N1, N2G и N1, N2X, то N1N2X.

О.2.5. Классом Фиттинга называется класс X, замкнутый относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных X-подгрупп. Класс Фиттинга называется так же радикальным, а формацию, являющуюся классом Фиттинга - радикальной.

Теорема 2.1.

Если класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп, то каждая субнормальная X-подгруппа группы G содержится в некоторой нормальной X-подгруппе.

? Пусть H - субнормальная X-подгруппа группы G. Применим индукцию по индексу |G : H|. Заметим, что H ? NG(H) и NG(H) ? G. Выберем подгруппу L в группе G, обладающую следующим свойством: подгруппа L порождается всеми субнормальными подгруппами X группы G такими, что H ? X ? NG(H).

Ясно, что H ? L ? NG(H). Так как подгруппа, порождённая субнормальными подгруппами является субнормальной подгруппой, то L субнормальна и существует субнормальная подгруппа M в группе G такая, что LM и M ? L. По выбору L подгруппа M не содержится в NG(H). Значит, существует элемент xMNG(H). Ясно, что H?Hx, HxX и Hx - субнормальная подгруппа группы G. Поскольку HL, то HxLx = L. Теперь HHx - подгруппа группы L и HHxX согласно второму требования определения класса Фиттинга. Кроме того, HHx ?H, поэтому к подгруппе HHx применима индукция. По индукции в группе G существует нормальная подгруппа N такая, что NX и HHx ? N. Значит, H ? N. ¦

Следствие 2.1.

Пусть класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп. Если H1, H2 - субнормальные X-подгруппа группы G, то H1, H2 - субнормальная X-подгруппа.

? Пусть M =H1, H2. По теореме 2.1. в группе М существуют нормальные

X-подгруппы N1 и N2 такие, что H1 ? N1, H2 ? N2. Согласно второму требования определения класса Фиттинга произведение N1N2X. Поэтому

М=H1, H2? N1N2 ? М и М = N1N2X. ¦

Следствие 2.2.

Пусть класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп. Если Н - субнормальная X-подгруппа группы G, то НGX.

? Подгруппа НG порождается всеми сопряжёнными с Н подгруппами группы G, т.е. НG =Hg | gG. На основании следствия 2.1. получаем, что НGX. ¦

Пусть X - класс Фиттинга. Произведение всех нормальных X-подгрупп группы G называется X-радикалом группы G и обозначается через GX. Ясно, что X-радикал GX является наибольшей нормальной подгруппой группы G, содержащейся в X.

Лемма 2.1.

Пусть X - класс Фиттинга, G - группа и HG. Подгруппа HX тогда и только тогда, когда H ? GX.

? Необходимость. Пусть HG и HX. По следствию 2.2. из теоремы 2.1. получаем, что H ? HGX и HG ? GX.

Достаточность. Пусть HG и H ? GX. Так как GXX и X - класс Фиттинга, то HX. ¦

Лемма 2.2.

Если X - класс Фиттинга и NG, то NX = GX?N.

? Так как GX?NGX и GXX, то GX?NX. Поскольку GX?NN, то GX?NNX.

Обратно, NXNG, поэтому NXG и NXGX согласно лемме 2.1.

Итак, GX?N = NX. ¦

Лемма 2.3.

Пусть группа G содержит нормальную подгруппу N индекса p, где p - простое число. Если Z - циклическая группа порядка p, то прямое произведение GЧZ содержит нормальную подгруппу K, изоморфную G и отличную от G.

? Так как (GЧZ)/N, где - элементарная абелева группа порядка p2, то в (GЧZ)/N существует p2-1 элементов порядка p, которые распадаются на

(p2-1)/(p-1) = p+1 подгрупп порядка p. Поэтому в (GЧZ)/N существует подгруппа K/N порядка p такая, что K/N ? G/N и Z не является подгруппой в K. Подгруппа K нормальна в группе GЧZ, K?G. Кроме того, GЧZ=KЧZ и (GЧZ)/ZG(KЧZ)/ZK. ¦

Лемма 2.4.

Если F - класс X-класс Фиттинга, то класс F замкнут относительно субнормальных подгрупп.

? Пусть GF и H - субнормальная подгруппа группы G. Тогда существует конечная (G-H)-цепь подгрупп G=G0G1…Gk=H, такая, что Gi нормальна в Gi-1 для любого i=1, 2, … , k. Индукцией по длине цепи k докажем, что HF. Если k=1, то H нормальна в G и по О.2.5. получим, что HF. Пусть k>1. Так как G1 нормальна в G, то G1F. Далее, H субнормальна в G1, причём существует субнормальная (G1-H)-цепь длины k-1. Тогда по индукции HF. Лемма доказана. ¦

Лемма 2.5.

Пусть F - G-класс Фиттинга. Если Hi является субнормальной F-подгруппой конечной группы G для любого i=1, 2, … , t , то Hi | i=1, 2, … , tF.

? Допустим, что группа G - контрпример минимального порядка. Пусть

K=Hi | i=1, 2, … , t. Тогда Hi субнормальна в K. Если |K|<|G|, то по индукции KF. Пусть G=K. Так как Hi субнормальна в G, то в G существует нормальная подгруппа Gi такая, что HiGiG для любого i=1, 2, … , t. Тогда Hig является

F-подгруппой и субнормальна в Gi для любого gG и любого i=1, 2, … , t. Так как |Gi|<|G|, то по индукции Hig | gG=HiGF. Значит

G=Hi | i=1, 2, … , tHiG | i=1, 2, … , tF. Так как HiGGiG, то

G=HiG | i=1, 2, … , t, и, значит, Hi | i=1, 2, … , tF. Лемма доказана. ¦

Теорема 2.2.

Пусть F - S-класс Фиттинга. Если pр(F), то F содержит все конечные

p-группы, т.е. NpF.

? Так как pр(F), то в F существует группа G такая, что p | |G|. Тогда G обладает композиционным фактором H/K порядка p. По лемме 2.4. HF. Рассмотрим группу B=HA, где |A|=p. Так как B/K - элементарная абелева группа порядка p2, то B/K содержит p+1 подгруппу порядка p. Пусть H1/K - подгруппа порядка p из B/K, отличная от H/K и AK/K. Тогда B=H1A и H?H1. Так как HB/AH1, то HH1, и, значит, H1F. Далее B=H·H1, и, значит, по О.2.5. BF. Так как A нормальна в B, то AF. Следовательно, F содержит все группы порядка p. Покажем, что F содержит циклическую p-группу порядка pn для любого n. Предположим, что F содержит циклическую группу C порядка

pn-1. Рассмотрим сплетение D=C?A, которое является расширением прямого произведения p циклических групп порядка pn-1 с помощью группы порядка p.

Тогда группа D порождается p+1 подгруппой, каждая из которых субнормальна в D и принадлежит F. Тогда по лемме 2.5. DF. Пусть D=, где |Ci|=pn-1 для любого i=1, 2, … , p, |a|=p, Cia=Ci+1 для любого i=1, 2, … , p-1 и Cpa=C1. Рассмотрим элемент C=C1a-1. Тогда

C2=C1a-1·C1a-1=C1C2a-2; C3=C1C2a-2·C1a-1=C1C2C1a2a-3=C1C2C3a-3 и

Cp=C1C2…Cp. Отсюда следует, что |C|=pn. Следовательно, D содержит циклическую группу L порядка pn. Так как L субнормальна в D и DF, то по лемме 2.4. LF. Следовательно, F содержит все конечные циклические

p-группы. Так как любая конечная p-группа P порождается конечным числом циклических p-подгрупп, которые субнормальны в P и принадлежат F, то по лемме 2.5. PF. Следовательно, NpF. Теорема доказана. ¦

Делись добром ;)