1. F-радикалы и F-инъекторы

Для изложения этого пункта нам потребуются некоторые сведения из теории формаций.

О.2.6. Класс групп F называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из F так же принадлежит F;

2) из H/AF, H/BF всегда следует H/A?BF.

О.2.7. Пусть F - непустая формация групп. Обозначим через GF и назовём

F-корадикалом группы G пересечение всех нормальных подгрупп M из G таких, что G/MF.

О.2.8. Пусть F - непустой класс групп. F-подгруппа H группы G называется F-проектором в G, если из HUG и U/U0F всегда следует, что U=H·U0.

О.2.9. Подгруппа K группы G называется подгруппой Картера (или картеровской подгруппой), если K нильпотентна и NG(K)=K.

Теорема 2.3.

Для любой конечной разрешимой группы G справедливы утверждения:

а) множество подгрупп Картера группы G совпадает с множеством всех

N-проекторов группы G.

б) G обладает по крайней мере одной подгруппой Картера и любые две из них сопряжены в G.

О.2.10. Пусть F - непустой X-класс Фиттинга. F-радикалом X-группы G называется группа GF, порождённая всеми нормальными F-подгруппами из G.

Лемма 2.6.

Пусть F является X-классом Фиттинга, К - нормальная X-подгруппа

X-группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) GF является характеристической F-подгруппой группы G.

б) KF= GF?K.

? а) Пусть F является X-классом Фиттинга и G есть X-группа. Если N - нормальная F-подгруппа группы G и ц - автоморфизм G, то NцN, и, значит, Nц является нормальной F-подгруппой группы G. Если J является множеством всех нормальных F-подгрупп группы G, то GF=N | NJ. Так как Nц пробегает всё множество J, когда N пробегает всё множество J, то GFц=Nц | NJ=GF, то GF является характеристической подгруппой в G, причём по О.2.3. GFF.

б) Пусть K - нормальная X-подгруппа X-группы G. Так как GF?K нормальна в GF и GFF, то в силу замкнутости F относительно нормальных подгрупп, получим GF?KF. Далее GF?K нормальна в K и GF?KF, значит по О.2.3. GF?KKF. Так как KF характеристична в K, то KF нормальна в G. Далее KFF. Следовательно, по О.2.3. KFGF, и, значит, KFGF?K. Из включений GF?KKF и KFGF?K следует, что KF=GF?K. ¦

О.2.11. Пусть X - класс групп. Подгруппа H группы G называется

X-максимальной в G, если HX и не существует X-подгруппы K в G, такой, что HK.

О.2.12. Пусть X - класс групп. Подгруппа V группы G называется

X-инъектором в G, если для любой субнормальной подгруппы N в группе G пересечение V?N является X-максимальной подгруппой в N.

Лемма 2.7.

Пусть X - класс групп и б - автоморфизм группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если V является X-инъектором группы G, то и Vб тоже является

X-инъектором группы G.

б) если V является X-максимальной подгруппой группы G, то и Vб тоже является X-максимальной подгруппой группы G.

? а) Пусть N - субнормальная подгруппа группы G. Так как V является

X-инъектором в G, то по О.2.12. V?N является X-максимальной подгруппой группы N. Тогда (V?N)б= Vб?Nб является X-максимальной подгруппой группы Nб. Действительно, допустим, что существует X-подгруппа H в Nб такая, что (V?N)бHNб. Так как б - автоморфизм группы G, то б-1 тоже является автоморфизмом группы G. Следовательно, или . Так как H и HX, то X, что противоречит тому, что V?N является X-максимальной подгруппой в N. Следовательно, Vб?Nб является X-максимальной подгруппой в Nб. Так как Nб пробегает все субнормальные подгруппы группы G, когда N пробегает все субнормальные подгруппы группы G, то Vб является X-инъектором группы G.

б) Пусть V является X-максимальной подгруппой группы G. Полагая в пункте а) N=G получим, что Vб является X-максимальной подгруппой группы Gб=G. ¦

Лемма 2.8.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G, G - конечная разрешимая группа, N - нормальная группа в G, такая, что G/N нильпотентна. Если W является

F-максимальной подгруппой в N, а V1 и V2 являются F-максимальными подгруппами в G с WV1?V2 , то V1 и V2 сопряжены в G.

? Допустим, что группа G - контрпример минимального порядка. Так как ViF, i=1, 2 и N?Vi нормальна в Vi , то N?ViF для любого i=1, 2. По условию WN?Vi для любого i=1, 2. Так как W является максимальной F-подгруппой группы N, то N?V1=W=N?V2.

Предположим, что W не является нормальной подгруппой в G. Тогда T=NG(W) является собственной подгруппой группы G, причём V1 , V2T. Так как TN/NG/N, то TN/N нильпотентна. Следовательно, T/T?NTN/N нильпотентна. Далее, V1 и V2 являются F-максимальными подгруппами группы T, и W является максимальной подгруппой в T?N. Так как |T|<|G|, то по индукции V1 и V2 сопряжены в группе T, а значит, сопряжены и в группе G. Получили противоречие.

Следовательно, W нормальна в G. Пусть Mi/W=NG/W(Vi/W) и Сi/W - подгруппа Картера группы Mi/W, i=1, 2. Так как MiN/NMi/Mi?N нильпотентна, то существует натуральное число r - класс нильпотентности группы G/N такое, что = Mi?N/Mi?N.

Отсюда следует, что Mi?N. Так как Vi нормальна в Mi , то

[Vi , Mi]Vi и Vi?(Mi?N)=Vi?N=W, i=1, 2. Следовательно, =W/W, и, значит, Vi/W содержится в гиперцентре группы Mi/W, i=1, 2. Так как подгруппа картера Ci/W группы Mi/W самонормализуема в Mi/W, то Z(Mi/W)Ci/W и индукцией по длине нильпотентности нетрудно показать, что и гиперцентр группы Mi/W содержится в подгруппе Картера Ci/W, i=1, 2. Следовательно, Vi/WCi/W, причём Vi нормальна в Ci, i=1, 2. Покажем, что Ci/W, i=1, 2 является подгруппой Картера группы G/W. Пусть XNG(Gi), т.е. Cix=Ci, i=1, 2. Тогда VixCixCi. Так как Vi, VixF и Vi, Vix нормальны в Ci, то ViVixF, i=1, 2. Так как Vi является F-максимальной подгруппой в G, то ViVix=Vi, и, значит, Vix=Vi, т.е. xNG(Vi). Следовательно, xWMi/W. Так как Ci/W самонормализуема в Mi/W и (Ci/W)xW=Cix/W=Ci/W, то xCi, i=1, 2. Следовательно, Ci/W самонормализуема в G/W, и, значит, Ci/W является подгруппой Картера группы G/W для любого i=1, 2. Тогда по теореме 2.3. Сi/W и C2/W сопряжены в G/W. Следовательно, существует элемент yWG/W такой, что (C1/W)yW=C2/W. Тогда C1y=C2, где yG, и, значит, V1yC1yC2. Так как V2 и V1y являются нормальными F-подгруппами группы C2, то V2V1yF. По условию V2 является F-максимальной подгруппой группы G. Следовательно, V2V1y=V2 . Отсюда следует, что V1yV2. Так как V1 является F-максимальной подгруппой группы G, то по лемме 2.6 V1y тоже является F-максимальной подгруппой группы G. Тогда V1y =V2, где yG, и, значит, V1 и V2 сопряжены в G. Получили противоречие. Лемма доказана. ¦

Теорема 2.3.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G. Если G - конечная разрешимая группа, то G обладает F-инъекторами и любые два F-инъектора группы G сопряжены в G.

? Допустим, что группа G - контрпример минимального порядка. Тогда |G|>1. Пусть M - собственная нормальная подгруппа группы G, такая, что G/M - нильпотентная группа. Так как |M|<|G|, то по индукции в M существует

F-инъектор U, и любые два F-инъектора группы M сопряжены в M. Пусть V1 - F-максимальная подгруппа группы G, содержащая U. Покажем, что V1 является F-инъектором группы G. Для этого достаточно показать, что V1?G1 является

F-инъектором группы G1 для любой максимальной нормальной подгруппы G1 группы G. В самом деле, если H субнормальна в G, то H субнормальна в некоторой максимальной нормальной подгруппе G1 группы G. Тогда (V1?G1)?H=V1?H - F-максимальная подгруппа группы H, и, значит, V1 является F-инъектором группы G. Следовательно, осталось показать, что V1?G1 -

F-инъектор группы G1. Пусть N=G1?M. Так как G/MN, G/G1N и N является формацией, то G/M?G1?N, то есть G/N является нильпотентной группой. Так как |G1|<|G|, то по индукции в G1 существует F-инъектор V, и любые два

F-инъектора группы G1 сопряжены в G1. Тогда V?N и U?N являются

F-максимальными подгруппами группы N. Пусть N1 субнормальна в N. Тогда N1 субнормальна в G1. Так как V является F-инъектором группы G1, то по О.2.12. V?N1=(V?N)?N1 является F-максимальной в N1. Поэтому V?N является

F-инъектором группы N. Аналогично U?N - F-инъектор группы N. Так как по индукции любые два F-инъектора группы N сопряжены в N, то существует aN такой, что U?N=(V?N)a=Va?N. Так как V1?N нормальна в V1 и V1F, то V1?NF, причём U?NV1?N. Учитывая, что U?N является F-максимальной подгруппой в N, получим U?N=V1?N=W. Пусть V2 F-максимальная подгруппа группы G, содержащая Va. Так как G/N нильпотентна, W - F-инъектор группы N, а V1 и V2 являются F-максимальными подгруппами группы G, такими, что WV1?V2, то по лемме 2.8. V1 и V2 сопряжены в G. Следовательно, V1x=V2 для некоторого x из G. Тогда (V1?G1)x=V1x?G1=V2?G1=Va, и, значит, V1?G1=. Так как V является F-инъектором группы G1 и элемент ax-1 индуцирует через сопряжение автоморфизм группы G1, то по лемме 2.7. является

F-инъектором группы G1, и, значит, V1?G1 является F-инъектором группы G. Получили противоречие.

Пусть W1 и W2 являются F-инъекторами группы G. Докажем, что W1 и W2 сопряжены в G. Так как M нормальна в G, то по О.2.12. Wi?M, i=1, 2 является

F-максимальной подгруппой группы M. Если L субнормальна в M, то L субнормальна в G, и, значит, L?Wi=L?(Wi?M), i=1, 2 является F-максимальной подгруппой группы L. Следовательно, W1?M и W2?M являются F-инъекторами группы M. Так как |M|<|G|, то по индукции W1?M и W2?M сопряжены в M. Следовательно, (W1?M)y=W2?M, где yM. Тогда W1y?M=W2?M. Так как W1y и W2 являются F-максимальными подгруппами группы G, G/M нильпотентна и V2?M - F-инъектор группы M, то по лемме 2.8. W1y и W2 сопряжены в G, а значит W1 и W2 сопряжены в G. Получили противоречие. Теорема доказана. ¦

Следствие 2.3.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G и E=G0G1…Gn=G - субнормальный ряд конечной группы G, такой, что Gi+1/Gi - нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Подгруппа V группы G тогда и только тогда является F-инъектором в G, когда V?Gs F-максимальная подгруппа группы Gs для любого s=0, 1, 2, … , n.

? Необходимость. Пусть V является F-инъектором группы G. Тогда по О.2.12. V?Gs является F-максимальной подгруппой группы Gs для любого s=0, 1, 2,…, n.

Достаточность. Пусть V?Gs является F-максимальной подгруппой группы Gs для любого s=0, 1, 2, … , n. Если |G|=1, то V=G является F-инъектором группы G. Поэтому |G|?1. Можем считать, что |Gn-1|<|G|. Тогда по индукции V?Gn-1 является F-инъектором группы Gn-1. По теореме 2.3. существует F-инъектор W. Тогда W?Gn-1 является F-инъектором группы Gn-1. По теореме 2.3. V?Gn-1=(W?Gn-1)a, где aGn-1. Далее (W?Gn-1)a=Wa?Gn-1 и по лемме 2.7. Wa является F-инъектором группы G. По лемме 2.8. V и Wa сопряжены в группе G, то по лемме 2.6. V тоже является F-иньектором G. Следствие доказано. ¦

Следствие 2.4.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G. Если V является F-инъектором конечной разрешимой группы G и VHG, то и V является F-инъектором группы H.

? Пусть V - F-инъектор конечной разрешимой группы G и VHG. Пусть E=G0G1…Gn=G - субнормальный ряд группы G, такой, что Gi+1/Gi - нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Тогда V?Gs является

F-инъектором группы Gs для любого s=0, 1, 2,… , n. Пусть Hs=Gs?H, s=0, 1, 2,… , n. Тогда E=H0H1…Hn=H является субнормальным рядом группы H, причём Hi+1/Hi=Gi+1?H/Gi?H(Gi+1?H)Gi/Gi - нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Так как V?Hs=V?Gs?H=V?Gs - является F-максимальной подгруппой группы Gs , а значит и Hs для любого s=0, 1, 2, … , n, то по следствию 2.3. V является F-инъектором группы H. Следствие доказано. ¦