Клеточные пространства

курсовая работа

2.4 Многообразия флагов

Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).

Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей пересечений VR. Числа , однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.

Клетки пространства F (n; ) отвечают наборам целых чисел, принимающих значения 1,…, s + 1, причем ровно из этих чисел равны j (j=1,…, s+1; мы считаем, что k=0 и k=n). Клетка е [], отвечающая набору (), состоит из флагов VV, у которых

dim{

(мы считаем, что V=0 и V есть все пространство R) или, иначе,

dim (V R ) = card {р ? i¦kp ? j }.

Размерность клетки е [] равна числу пар (i, j), для которых i<j, >.

В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.

Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G (n, k), то s = 1 и набор состоит из k единиц и n-k двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в точке (n-k, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем i-e звено направлено вниз, если = 1, и вправо, если = 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга , и легко понять, что е [] = е ().

Заметим в заключение, что клетки е [] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это - орбиты группы нижних треугольных nn-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка е [] есть орбита флага, i-е пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству < i.

Делись добром ;)