Кольцо целых чисел Гаусса

дипломная работа

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.

Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида , где назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как , так как оно является расширением кольца элементом: .

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу соответствует вектор с началом в точке и с концом в . Следовательно, модуль гауссова числа есть . Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля. Таким образом . Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел справедливо:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь и далее -- множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.

Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.

Кольцо гауссовых чисел -- это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть

(6)

Делись добром ;)