Комплексные числа: их прошлое и настоящее

курсовая работа

5. Геометрический смысл алгебраических операций.

Пусть даны два комплексных числа z1 и z2. В результате сложения этих чисел получается число z3, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1+z2=0A+0B=0C=z3.

Рис.3

Разность (z1-z2) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z1 и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1-z2=z1+(-z2)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1-z2) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1=r1(cos?1+isin?1) и z2=r2(cos?2+isin?2). Перемножая их получим z1z2=r1r2(cos(?1+?2)+isin(?1+?2)). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

Деление. Если требуется разделить z1 на z2, то выполняем следующие преобразования: z1/z2=(z1z2)/(z2z2)=(r1(cos?1+isin?1)r2(cos?2-isin?2))/ (r2(cos?2+isin?2)r2(cos?2-isin?2))=(r1/r2)(cos(?1-?2)+isin(?1-?2)), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень. Умножая число z=r(cos?+isin?) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zn=rn(cos?+isin?)n=rn(cosn?+isinn?). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cos?+isin?)n= cosn?+isinn? (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

Извлечение корня. Пусть а=rei?, z=?ei?. Решаем уравнение zn=a для вычисления nva: ?nein?=rei?. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2?, получаем: ?n=r, n?-?=2?K, или ?=nvr; ?K+1=(?+2?K)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk=nvr(cos?+isin?)=nvr((cos?+2K?)/n+isin(?+2K?)/n)) (10), где nvr , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел zk+1 и zk постоянна и равна 2?/n: ?k+1-?k=(?+2?(K+1))/n-(?+2?K)/n=2?/n. Отсюда следует, что все значения nva располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

Делись добром ;)