Компьютерное моделирование визуальных образов из курса математического анализа: функции и множества одной переменной

курсовая работа

1.3 Задача 2

Существует ли непрерывная функция, которая “пересекает ось абсцисс” несчетное число раз?

Функция непрерывна. Будем говорить, что функция “пересекает ось абсцисс” в точке x, если выполнено:

1. f(x)=0;

2. в любой окрестности точки x найдутся точки y и z такие, что f(y)<0, f(z)>0

Решение. Да, существует. Проведем построение графика искомой функции f(x) на счетное число шагов. На нулевом шаге кладем f(x) = 0 при всех . На первом шаге построим нижнюю полуокружность на смежном интервале первого ранга, как на диаметре. На втором шаге построим верхние полуокружности на двух смежных интервалах второго ранга, как на диаметрах. На третьем шаге построим нижние полуокружности на четырёх смежных интервалах третьего ранга, и т.д., на (2n-1)-ом шаге строим нижние, а на 2n-ом шаге верхние полуокружности на смежных интервалах (2n-1)-го и 2n-го рангов, соответственно, и т.д. счётное число раз.

Построенная функция f(x) обращается в нуль в континууме точек множества . И, сколь угодно близко от точки из найдутся смежные интервалы (2n-1)-го и 2n-го рангов, на которых и соответственно.

2. Совершенные нигде не плотные множества на плоскости Будем говорить, что множество на плоскости нигде не плотно в метрическом пространстве R, если любой открытый круг этого пространства содержит другой открытый круг, целиком свободный от точек данного множества.

Делись добром ;)