4. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

множество кантор серпинский функция

Построим вспомогательную функцию на отрезке [0, 1] по шагам. На нулевом шаге зададим две точки:

и .

Далее зафиксируем параметр . На первом и последующем шагах будем задавать точки по следующему правилу: для каждых двух соседних по оси абсцисс ранее построенных точек и мы будем строить две новые точки и центрально-симметрично относительно центра прямоугольника, задаваемого точками и с коэффициентом k. То есть, на первом шаге задаются две новые точки:

и , и т.д.

На (m+1)-ом шаге в дополнении к ранее построенным точкам с абсциссами

,

строятся по две точки во всех промежутках по оси абсцисс между соседними уже построенными точками. Это построение выполняется так: промежутки по оси абсцисс между соседними точками (прямоугольники со сторонами a и b) делятся на 3 равные части каждый. Затем две новые точки строятся по одной из нижеприведённых схем:

В зависимости от того, какая из соседних точек или выше, используем левую или правую схему. На первом шаге, как это было показано выше, принимаем a = b = 1.

Повторяем построение счётное число раз при m = 1, 2, 3, … . В результате нами будет получен фрактал, который будет подобен, с точностью до некоторого аффинного преобразования (растяжение, сжатие, поворот) любой своей части, заключенной в каждой полосе:

;

В результате построения фрактала получим функцию , определённую на множестве точек

, ; (*)

которое всюду плотно на отрезке [0, 1].

Какими свойствами обладает построенная функция?

· в каждой точке вида (*) либо строгий максимум, либо строгий минимум, т.е. функция g(x) нигде не монотонная, и имеет плотные на сегменте [0, 1] множества точек строгих экстремумов;

· функция g(x) непрерывна, и даже равномерно непрерывна на множестве точек (*);

· построенная непрерывная на сегменте [0, 1] функция не имеет ни в одной точке данного отрезка даже односторонних производных;

Вышеуказанные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

В рассмотренном примере мы полагали параметр . Изменяя значение данного параметра, можно получить семейства функций со своими особыми свойствами.

· . Эти функции непрерывны и строго монотонно возрастающие. Имеют нулевые и бесконечные производные (соответственно, точки перегиба) на множествах точек, всюду плотных на сегменте [0, 1].

· . Получена линейная функция y = x

· . Свойства семейства функций те же, что и при значениях к из первого диапазона .

· . Нами получена функция Кантора, которая была подробно изучена нами ранее.

· . Данные функции непрерывны, нигде не монотонны, имеют строгие минимумы и максимумы, нулевые и бесконечные (обоих знаков) односторонние производные на множествах точек, всюду плотных на сегменте [0, 1].

· . Данная функция была изучена нами выше.

· . Функции из этого диапазона обладают теми же свойствами, что и функция при .