Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

курсовая работа

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Определение 3.1 Конгруэнция универсальной алгебры называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры из ;

Определение 3.2 Собственная подалгебра универсальной подалгебры называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры выполняется , всегда следует, что либо , либо .

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема Конгруэнция универсальной алгебры является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры из имеет место равенство .

Доказательство:

Пусть --- фраттиниева конгруэнция алгебры и --- максимальная подалгебра из .

Так как и , то .

Обратно. Пусть удовлетворяет свойству и пусть --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

Определение 3.3 Пусть --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если тогда и только тогда, когда существуют такие, что .

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры и будем обозначать .

Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно, .

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

Определение 3.5 Пусть --- множество всех максимальных подалгебр алгебры , --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями на , что , .

Лемма 3.1 Конгруэнция является фраттиниевой конгруэнцией на и всякая фраттиниева конгруэнция на входит в .

Доказательство:

Пусть --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в подалгебра , что . Значит, и тем более . Следовательно, фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь --- произвольная фраттиниева алгебры , --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема Пусть --- алгебра. Тогда .

Доказательство:

От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент такой, что не принадлежит . Так как , то существует и, следовательно, для любой максимальной подалгебры и --- фраттиниева. Значит, принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.

Лемма 3.2 Пусть --- максимальная подалгебра алгебры такая, что , где , тогда .

Доказательство:

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда существует элементы и .

Как показано в работе --- конгруэнция на алгебре .

Покажем, что , т.е. является смежным классом по конгруэнции .

Пусть и пусть . В силу определения найдутся такие элементы и , что

Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем

Следовательно, .

Лемма доказана.

Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры является нормальной подалгеброй алгебры .

Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .

Доказательство:

Пусть алгебра --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры алгебры всегда найдется такой номер , что и .

По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

Теорема доказана.

Заключение

В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в .

Список использованной литературы

Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.

Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34

Smith J. D. Malcev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.

Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.

Делись добром ;)