Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа

курсовая работа

Введение

Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших величин называют теорией экстремальных задач.

Слово maximum по латыни означает “наибольшее”, слово minimum - “наименьшее”. Оба этих понятия объединяются словом “экстремум” (от латинского extremum, означающего “крайнее”). Слово “экстремум”, как термин, объединяющий понятия “максимум” и “минимум”, ввел в употребление Дюбуа-Реймон. Ныне раздел анализа, называют теорией экстремальных задач.

Запись задачи в виде означает, что мы должны решить задачу на минимум, и задачу на максимум.

Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум, заменив задачу задачей , где , и наоборот. Поэтому в тех случаях, когда формулировки теорем для задач на минимум и максимум различны, мы иногда ограничиваемся рассмотрением задачи на минимум.

Задачи на максимум и минимум изначально формулируются, как правило, на языке той области, в которой они возникают. А исследуют их средствами математического анализа. Для того, чтобы можно было воспользоваться этими средствами, необходимо перевести формулировку задачи на язык математического анализа. Такой перевод называется формализацией.

В общем виде формализованная задача выглядит следующим образом : найти экстремум (максимум или минимум) функции ,определенной на некотором пространстве при ограничении . Кратко записывается так:

Для функции одной переменной , для функции нескольких переменных . В более общих случаях может быть линейным, нормированным или топологическим пространством. Ограничение может быть записано в виде включения, а также в виде уравнений или неравенств. - нумерация (обозначение) задачи (от английского слова problem - задача). Множество допустимых элементов в задаче обозначаем или . Если множество допустимых элементов совпадает со всем пространством , то задачу называем задачей без ограничений.

Решением задачи на минимум является точка такая, что для всех точек . В этом случае мы пишем . Такой минимум называется еще абсолютным, или глобальным. Аналогично определяется абсолютный максимум в задаче . Величина , где - решение задачи, называется численным значением задачи и обозначается или . Множество решений задачи обозначается . если экстремум не достигается, то указывается последовательность точек , на которой значение функции стремиться к величинам и .

В связи с каждой экстремальной задачей возникают вопросы: каковы необходимые условия экстремума, каковы достаточные условия, существует ли решение задачи, как найти решение явно или численно.

Одним из важнейших принципов решения задач с ограничениями является принцип Лагранжа снятие ограничений. Сфера применимости принципа Лагранжа достаточна широка. Иногда нельзя к задаче применить имеющуюся теорему, однако этот принцип, примененный без основания, тем не менее может привести к точкам, среди которых можно выделить решение.

Делись добром ;)