Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп

курсовая работа

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в группе .

(2) Если - слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа.

(3) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , - слабо нормальная подгруппа в группе .

Доказательство. (1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и - такая квазинормальная в подгруппа, что

Тогда , - квазинормальная в подгруппа и . Значит, - слабо нормальная в подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и

Ясно, что

Поскольку

то

и - квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть - слабо нормальная подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и

Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.

Делись добром ;)