Конечные сверхразрешимые группы

курсовая работа

Глава 1. Вспомогательные определения и утверждения

Все используемые в дальнейшем обозначения и определения можно найти в [1-5].

Определение 1.1. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на G, то есть , для всех .

(2) операция ассоциативна, то есть , для любых .

(3) в G существует единичный элемент, то есть такой элемент , что для всех .

(4) каждый элемент обладает обратным, то есть для любого существует такой элемент , что .

Определение 1.2. Абелева группа - группа с коммутативной операцией.

Определение 1.3. Если -конечное множество, являющееся группой, то называют конечной группой, а число элементов в -порядком группы .

Определение 1.4. Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующие обозначение: Запись читается так: - подгруппа группы

Определение 1.5. Максимальная подгруппа - такая подгруппа, что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой подгруппой).

Определение 1.6. Пусть - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,

Определение 1.7. Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через Ясно, что, т.е. центр группысовпадает с центролизатором подмножества в группе . Кроме того,

Определение 1.8. Зафиксируем элемент в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом, .

Определение 1.9. Пусть - подмножество группы и через обозначим подмножество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента

Пусть H - подгруппа группы G. Подгруппа называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .

Определение 1.10. Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

.

Определение 1.11. Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех Запись читается так: -нормальная подгруппа группы . Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Лемма 1.1. [1, лемма 6.4.] Пусть Н - нормальная подгруппа группы G. Тогда:

(1)

(2)

(3)

(4) .

Определение 1.12. Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы Аналогично определяется левый смежный класс

Определение 1.13. Индекс подгруппы - число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы в данной подгруппе.

Определение 1.14. Группа называется фактор-группой группы по группе и обозначается через .

Теорема 1.1. [1, теорема 6.10 ]. (Теорема о соответствии) Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Тогда:

(1) если U - подгруппа группы G и , то - подгруппа фактор-группы

(2) каждая подгруппа фактор-группы имеет вид , где V - подгруппа группы G и ;

(3) отображение является биекцией множества S(G,H) на множество S();

(4) если S(G,H), то N - нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа фактор-группы .

Определение 1.15. Пусть р-простое число. р-Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа р. Конечная группа называется примарной, если она является p-группой для некоторого простого р.

Определение 1.16. Силовской р-подгруппой конечной группы называют такую р-подгруппу, индекс которой не делится на р.

Определение 1.17. Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Определение 1.18. Две группы и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех Факт изоморфизма записывают так:

Теорема 1.2.[1, теорема 8.4.]. Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Тогда для любой подгруппы A пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе А, а отображение является изоморфизмом групп .

Теорема 1.3. .[1, теорема 8.5.] Если N и H - нормальные подгруппы группы G, причём , то изоморфна .

Определение 1.19. Положив в определении изоморфизма, получим изоморфное отображение группы G на себя, которое называют автоморфизмом группы G. Совокупность всех автоморфизмов группы G обозначим через AutG.

Теорема 1.4. Совокупность AutG всех автоморфизмов группы G является группой.

Теорема 1.5. Пусть G - группа и H - её подгруппа. Тогда и изоморфна подгруппе группы автоморфизмов H.

Теoрема 1.6.

(1) Если - бесконечная циклическая группа, то - группа порядка 2.

(2) Если - конечная циклическая группа порядка n, то изоморфна группу всех обратимых элементов полугруппы .

(3) Группа автоморфизмов циклической группы абелева.

(4) Группа автоморфизмов группы простого порядка p является циклической группой порядка p-1.

Определение 1.20. Пусть -подгруппа группы и -автоморфизм группы . Если для всех то называют характеристической подгруппой группы и пишут В каждой группе единичная подгруппа и вся группа являются характеристическими подгруппами. Если в группе не других (отличной от единичной подгруппы и всей группы) характеристических подгрупп, то группа называется характеристически простой.

Лемма 1.2. [1, лемма 9.7]. Каждая подгруппа конечной циклической группы характеристическая.

Лемма 1.3. [1, лемма 9.10]. Пусть Тогда:

(1) если H char K, K char G, то H char G;

(2) если H char K, то .

Определение 1.21. Цепочка подгрупп

называется рядом длины а неединичной группы G и обозначается через .

Определение 1.22. Ряд называется нормальным, если для всех i.

Определение 1.23. Ряд называется субнормальным, если для всех i.

Определение 1.24. Пусть - субнормальный ряд конечной группы G. Фактор-группы называются факторами ряда.

Определение 1.25. Числа - индексы ряда.

Определение 1.26. Нормальный ряд конечной группы G называется главным, если подгруппа является максимальной нормальной подгруппой группы G, содержащейся в .

Определение 1.27. Пусть теперь и - произвольные группы. На множестве определим операцию (умножение) следующим образом: где . Множество превращается в группу с единичным элементом , где - единичный элемент группы , и обратным элементом

Группу называют прямым произведением групп .

Определение 1.28. Минимальной нормальной подгруппой группы G называют такую нормальную подгруппу N группы G, что и в N нет нетривиальных нормальных подгрупп группы G.

Лемма 1.4. [1, лемма 13.1]. Пусть Тогда:

(1) если то либо , либо

и

(2) если N абелева и NH=G для некоторой собственной подгруппы H группы G, то ;

(3) если и , то

Определение 1.29. Коммутатором элементов a и b называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Определение 1.30. Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы G, называется коммутантом группы G и обозначается через . Таким образом,.

Определение 1.31. Для любой неединичной группы G можно построить целую цепочку коммутантов

Если существует номер n такой, что , то группа G называется разрешимой.

Лемма 1.5. [1, лемма 21.2.].

(1) Подгруппы и фактор-группы разрешимой группы разрешимы;

(2) Если и разрешимы, то G разрешима;

(3) Прямое произведение разрешимых групп является разрешимой группой.

Делись добром ;)