Корені многочленів довільного степеня

курсовая работа

1. Основна теорема алгебри

Розглянемо основні поняття, що стосуються даної теми.

Означення 1. Многочленом від однієї змінної над областю цілісністю називається вираз , де - довільне ціле невідємне число, - елементи області цілісності, а (або ), - деякі символи; називається -м степенем змінної (або невідомого ), а - -м коефіцієнтом многочлена

або коефіцієнтом при (=0,1,…, ).

Означення 2. Відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнти - старшим коефіцієнтом, а його степінь - степенем многочлена.

Означення 3. Коренем многочлена називається елемент будь-якого розширення поля такий, що .

Означення 4. Елемент називається коренем многочлена , якщо ділиться на .

Головним результатом дослідження питання про існування коренів алгебраїчних рівнянь є так звана основна теорема алгебри.

Розглянемо питання про існування коренів многочлена з геометричного погляду. Нам треба показати, що для всякого многочлена ненульового степеня від комплексного змінного P(z) знайдеться на комплексній площині хоча б одна точка z0 така, що P(z0) = 0. Зауважимо, що зручніше досліджувати не самий многочлен P(z) , а його модуль, тобто функцію w = . Безпосередньо ясно, що функції P(z) і перетворюються в нуль в одних і тих самих точках, так що з точки зору існування коренів та їх розміщення на комплексній площині байдуже , чи ми розглядаємо P(z) , чи . Проте має ту перевагу, що вона набуває лише дійсних і притому невідємних значень, що полегшує застосування до неї методів математичного аналізу.

Делись добром ;)