Корені многочленів довільного степеня

курсовая работа

1.1 Доведення основної теореми алгебри

Теорема 1. Якщо P(z) - многочлен ненульового степеня, то для довільного додатного числа M можна знайти таке число N, що при

.

Саме це твердження і означає, що необмежено зростає, коли точка z необмежено віддаляється від початку координат, бо яким би великим не було число M, перевищуватиме M , як тільки віддаль точки z від початку координат буде більша відповідного N.

Доведення. Користуючись властивостями модуля комплексного числа, маємо :

= (1)

Але

(2)

де - найбільший з модулів коефіцієнтів Якщо накласти (яке до цього часу було довільним комплексним числом) додаткову умову :

(3)

То (4)

Підсилюючи за допомогою нерівностей (2) і (4) нерівність (1), маємо:

(5)

При необмеженому зростанні стане більше за число

(6)

Для таких значень справджується нерівність

і тому (7)

Коли , задовольняючи нерівність (3), задовольняють і нерівність (6), тобто коли

(8)

то на підставі (5) і (7) можна записати :

(9)

Покажемо тепер, що при достатньо великих величина буде більшою від наперед заданого додатного числа . Справді, при

(10)

Справедлива нерівність

(11)

Якщо при цьому також справджується нерівність (9), то з (9) і (11) випливає . Через те що нерівність (9) справедлива для тих , що задовольняють умову (8), а нерівність (11) - для тих, що задовольняють умову (10), то потрібна нам нерівність справджуватиметься для всіх , які задовольняють обидві ці умови, тобто для яких , де

.

Ясно, що таке можна знайти для довільного додатного Теорему доведено.

Зауваження. З нерівностей, встановлених при доведенні цієї теореми, можна безпосередньо дістати такий важливий наслідок : многочлен може мати лише такі корені, модуль яких менший від числа

(12)

де найбільший з модулів коефіцієнтів

Зауваження. При модуль старшого члена многочлена більший за модуль суми всіх інших членів цього многочлена.

Теорема 2. Для довільного многочлена існує хоча б одна точка комплексної площини, в якій функція набуває найменшого значення, тобто така, що для довільного комплексного числа .

Теорема 3. (основна теорема алгебри). Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь.

Доведення. З теореми 2 відомо, що функція хоч при одному комплексному набуває найменшого значення. Для доведення основної теореми алгебри досить встановити, що =0, тобто що і є коренем многочлена.

Припустимо супротивне, тобто що , і покажемо, що в цьому випадку не може бути точкою, в якій набуває найменшого значення. Для цього, очевидно, слід показати, що можна знайти таку точку , в якій або, що те саме, .

Застосуємо до многочлена формулу Тейлора :

(13)

Через те що за припущенням, очевидно, що й . Тому, щоб знайти потрібне нам відношення , поділимо почленно обидві частини рівності (13) на . Матимемо :

=

Позначимо в цій рівності для скорочення . І коефіцієнти при через ( дістанемо рівність

(14)

Зрозуміло, що в цій рівності ряд перших коефіцієнтів може дорівнювати нулю : Проте серед усіх коефіцієнтів повинен бути хоча б один коефіцієнт Справді, коли б усі коефіцієнти дорівнювали нулю, то це означало б, що , і для будь-якого за формулою (13) ми мали б , тобто многочлен є числом (многочленом нульового степеня), що суперечить умові теореми. Отже, припустимо, що , а . (Якщо вже , то ). Тоді рівність (14) можна записати в такому вигляді :

. (15)

Користуючись тим, що , далі маємо :

=

Нам треба показати існування таких значень , що , тому оцінимо відношення за модулем, скориставшись властивостями модуля суми і добутку :

(16)

Щоб показати, що при певному виборі права частина нерівності (16) буде менша за одиницю, накладемо на відповідні умови. Через те що , то ці умови можна накласти на число . Записуючи комплексне число у тригонометричній формі, бачимо, що для вибору можна накладати певні умови як на модуль так і на аргумент .

Насамперед звернемо увагу на те, що вираз

є многочленом від з вільним членом, що дорівнює нулю. Отже, маємо : . Це означає, що для довільного числа наприклад, , можна знайти таке число , що при

(17)

справджується нерівність . Отже, нехай на накладено умову (17). Тоді, , і нерівність (16) матиме вигляд :

(18)

Нам треба вибрати так, щоб було менше 1. Для цього знайдемо таке , щоб було дійсним відємним числом з модулем , меншим за одиницю. Покажемо, що такий вибір завжди можливий.

Розглянемо для цього число . Запишемо його у тригонометричній формі. Оскільки , де - відомі числа, то

(19)

Тобто , а Для того щоб було дійсним відємним числом, його аргумент повинен дорівнювати . Тому накладемо на умову , або

(20)

Ясно, що при довільному натуральному і при всякому комплексному таке можна знайти. Тепер для всякого комплексного числа з аргументом (20)дістаємо з (19) : , а нерівність (18) запишеться у вигляді

. (21)

Тепер залишається вибрати так, щоб було Легко бачити, що для цього досить взяти . Зауважимо, що на ми вже накладали умову (17). Щоб поєднати цю умову з останньою нерівністю, слід за взяти довільне число, яке менше

. (22)

При такому виборі справедлива нерівність (21) і, крім того, Тому

, (23)

бо .

Отже, при всякому , де - комплексне число, аргумент якого визначається умовою (20), а модуль менший за , яке визначається умовою (22), справедлива нерівність або .

Цей висновок суперечить умові, згідно з якою - найменше значення Отже =0, і теорему доведено.

Делись добром ;)