Корені многочленів довільного степеня

курсовая работа

2.1 Спосіб Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь

Зробимо деякі попередні зауваження.

Число, визначене теоремою 5, дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу його відємних коренів, бо вказує інтервал (), в якому лежать всі дійсні корені, якщо вони існують. Один із шляхів уточнень, звуження меж, між якими слід шукати дійсні корені, полягає в тому, щоб окремо знаходити нижню і верхню межі додатних коренів і нижню і верхню межі відємних коренів даного многочлена, тобто такі чотири числа , що всі додатні корені многочлена лежать в інтервалі (), а всі відємні - в інтервалі ().

Досить мати правило для знаходження верхньої межі додатних коренів многочлена.

Теорема 13 (Ньютона). Число є верхньою межею додатних коренів многочлена , якщо при многочлен має додатне значення, а всі його похідні - невідємні значення.

Доведення. Покладаючи у формулі Тейлора , дістанемо

,

звідки безпосередньо видно, що при , тобто всі дійсні корені многочлена менші за .

Оскільки знак многочлена і його похідних в точці збігаються із знаком відповідних коефіцієнтів Тейлора при розкладі за степенями , на практиці числа зручно підбирати з допомогою схеми Горнера. При цьому в більшості випадків немає потреби обчислювати всі коефіцієнти Тейлора : як тільки в процесі ділення на дістаємо рядок з невідємних чисел, - можна прийняти за верхню межу додатних коренів, бо наступне застування схеми Горнера ніколи не приведе до відємних коефіцієнтів. Зокрема, якщо заданий многочлен має невідємні коефіцієнти, можна покласти =0, тобто многочлен не має додатних коренів. Теорему доведено.

Делись добром ;)