Корені многочленів довільного степеня

курсовая работа

2.3 Відокремлення коренів методом Штурма

Нехай дано рівняння =0. Насамперед побудуємо деяку послідовність многочленів, звязних з многочленом , - так званий ряд функцій Штурма, який відіграє основну роль в методі Штурма. Припустимо, що вже не має кратних коренів.

Знайдемо похідну і побудуємо для і алгоритм,подібний до алгоритму Евкліда :

(31)

Ми тут пишемо , не зазначаючи аргумента, бо і взаємно прості і тому =. Послідовність многочленів :

(32)

і називається рядом функцій Штурма або просто рядом Штурма для многочлена . Іноді для зручності ми позначатимемо =.

У методі Штурма нас цікавитимуть не самі функції ряду Штурма або їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій. У звязку з цим функції даного ряду (31) можна знаходити з точністю до сталого додатного множника, тобто, виконуючи ділення з остачею, домножати на сталі множники; ці множники повинні бути додатні, щоб не змінювались знаки значень многочленів.

Розглянемо основні властивості ряду функцій Штурма.

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду Штурма (32) не мають спільних коренів.

Доведення. Припустимо супротивне : нехай є спільним коренем і , тобто . Тоді з (31) видно, що й

.

Так само переконаємось, що . Але рівність означає, що многочлен має кратний корінь , а за припущенням кратних коренів не має. Отже, ми прийшли до суперечності, яка й доводить лему 1.

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.

Доведення. Нехай . Тоді за лемою 1 . Далі з (31) :

і лему 2 доведено.

Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду Штурма, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не змінюється.

Лема 4. Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшується на одиницю.

Теорема 16 (Штурма). Якщо і (довільні дійсні числа, які не є коренями многочлена , то число дійсних коренів многочлена в інтервалі ( дорівнює =, де є число змін знаків у ряді Штурма відповідно в точках і .

Доведення. Якщо , зростаючи від до , не пройде через жодний корінь , то за лемою 3 . Якщо ж , зростаючи, пройде через коренів многочлена , то при проходженні через кожний корінь число змін знаків зменшуватиметься на одиницю (за лемою 4), так що буде на одиниць менше, ніж , тобто =. Теорему доведено.

Теорема Штурма дозволяє розвязувати найрізноманітніші задачі щодо розміщення коренів многочлена на дійсній осі. Розглянемо дві такі задачі.

1. За допомогою ряду Штурма для довільного многочлена над полем дійсних чисел можна точно визначити загальне число дійсних коренів, а також число його додатних і відємних коренів. Для цього досить застосувати теорему Штурма до інтервалів , де - межа модуля коренів, бо поза інтервалом многочлен дійсних коренів не має.

На практиці, щоб не підставляти чисел у функції ряду Штурма, замість інтервалів розглядають інтервали і . При цьому користуються лемою відповідно до якої при знак многочлена визначається знаком його старшого члена. Тому під знаком многочлена «при » розуміють знак його старшого члена при додатному , а під знаком многочлена «при » - знак його старшого члена при відємному .

2. З допомогою методу Штурма можна здійснювати так зване відокремлення дійсних коренів. Відокремлення коренів полягає у знаходженні таких інтервалів, у кожному з яких лежить точно один дійсній корінь многочлена. Ця задача дуже вважлива, бо більшість наближеного обчислення коренів вимагає їх попереднього відокремлення. Практичне здійснення відокремлення коренів зводяться до підбору потрібних інтервалів.

3. З допомогою ряду Штурма можна знайти просту ознаку того, що всі коренів многочлена -го степеня є дійсні різні числа. Для цього, очевидно, потрібно, щоб у ряді Штурма при зростанні від до число змін знаків зменшилось на . В свою чергу, для цього насамперед потрібно, щоб число функцій у ряді Штурма було не меншим за +1. Оскільки за самою побудовою цього ряду воно не може бути більшим за , то у випадку всіх дійсних коренів ряд Штурма складається точно з функцій, причому кожна наступна функція цього ряду є многочленом на одиницю нижчого степеня, ніж попередня. Тепер ясно, що всі корені будуть дійсними, якщо , а . Зрозуміло, що це має місце тоді і тільки тоді, коли старші коефіцієнти всіх функцій Штурма одного знака. Отже, для того щоб всі корені многочлена степеня були дійсні і різні, необхідно і достатньо, щоб відповідний ряд Штурма складався з многочленів, старші коефіцієнти яких всі одного і того ж знака.

Делись добром ;)