3.1 Методи відокремлення коренів многочлена

Відокремлюють корені графічним і аналітичними методами.

Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів. Часто рівняння записують у вигляді і будують графіки функцій і , потім знаходять межі, в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій і .

Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу.

Теорема 17. Якщо функція неперервна на і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто , то в середині відрізка існує хоча б один корінь рівняння .

Зазначимо, що теорема не дає відповіді на питання про кількість рівняння , які належать. При виконанні умов теореми рівняння може мати й кілька коренів.

Теорема 18. Якщо функція , неперервна і диференційована на , набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна зберігає сталий знак всередині відрізка , то рівняння на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 17 і 18 алгоритм відокремлення коренів рівняння можна сформулювати так :

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти критичні точки функції .

3. Записати інтервал монотонності функції .

4. Визначити знак функції на кінцях інтервалів монотонності.

5. Визначити відрізки, на кінцях яких функція набуває значень протилежних знаків.

6. Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.

корінь алгебра теорема рівняння