Краевая задача Римана
Некоторые вспомогательные теоремы
Приведем здесь четыре наиболее часто используемые теоремы теории аналитических функций.
1. Теорема об аналитическом продолжении в соприкасающихся областях (принцип непрерывности):
Пусть две области D1 и D2 граничат вдоль некоторой кривой L; в областях D1 и D2 заданы аналитические функции f1(z) и f2(z). Предположим, что при стремлении точки z к кривой L обе функции стремятся к предельным значениям, непрерывным на кривой L, причем эти предельные значения равны между собой. При этих условиях функции f1(z), f2(z) будут аналитическим продолжением друг друга.
2. Пусть DZ - некоторая область плоскости z, Lz - прямая или окружность, имеющие с контуром области Dz некоторую общую часть. Множество точек, симметричных относительно Lz веем точкам Dz, образуют область, которую обозначим D*z и назовем областью, симметричной Dz относительно Lz. Пусть, далее, w = f(z) - функция, аналитическая в Dw, отображающая ее на некоторую область Dw; Lw - произвольная прямая или окружность в плоскости w и D*w - область, симметричная Dw относительно Lw. Определим в D*г функцию w=f*{z), ставя в соответствие точкам z*, симметричным z, значения w*, симметричные значениям w=f(z); в частности, если Lz и Lw - действительные оси, то f*{z)=.
Лемма: Функция w = f*{z) аналитична в области D*z.
Теорема (принцип симметрии):
Пусть функция w=f{z) аналитична в области DZ, имеющей частью своей границы отрезок прямой или дугу окружности, и отображает область Dz в некоторую область Dw так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок прямой ила дугу окружности. Тогда функция f*(z), определенная по симметрии в области D*z, будет аналитическим продолжением функции f(z) в область D*z.
3. Теорема (принцип аргумента):
Пусть f(z) есть функция, аналитическая и однозначная в многосвязной области D, ограниченной гладким контуром
L = t0 + L1 + ... + Lm,
за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы, непрерывная в замкнутой области D+L и имеет на контуре не более чем конечное число нулей целого порядка. Тогда справедлива формула
индекс задача риман односвязный сдвиг
ND - PD + ( NL - PL) = [arg f(z)]L,
где ND, PD, NL, PL - числа нулей и полюсов в области и на контуре; [arg f(z)]L - приращение аргумента функции f(z) при обходе контура в положительном направлении.
Теорема (обобщенный принцип аргумента):
Пусть f(z) аналитична в D, за исключением конечного числа точек, где она имеет полюсы, и непрерывно продолжила на контур всюду, кроме точек tk в окрестности которых она представима в виде
f(z)=fk(z)(z-tk) ln(z-tk), k=,
где fk(z)0, , - некоторые комплексные переменные.
Тогда:
ND - PD + = [arg f(z)]L,
Где - угол между касательными векторами в угловой точке (см. рис 1)
рис. 1
4. Теорема Лиувилля (обобщенная):
Пусть функция f(z) аналитична во всей плоскости комплексного переменного, за исключением точек a0=?, ak (k = 1,2,...,n), где она имеет полюсы, причем главные части разложений функции f(z) в окрестности полюсов имеют вид
G0(z)= в точке a0,
в точках ak.
Тогда функция f(z) есть рациональная функция и может быть представлена формулой
В частности, если единственная особенность функции f(z) есть полюс порядка m в бесконечно удаленной точке, то f(z) есть многочлен степени m:
.