Краевая задача Римана

курсовая работа

Исключительные случаи задачи Римана

Проведем исследование задачи, допуская, что функция G(t) в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность целых порядков. Для простоты будем предполагать, что контур L состоит из одной замкнутой кривой.

1. Однородная задача.

Запишем краевое условие однородной задачи Римана в виде

(*)

Здесь (k = 1,2, ...,n), (j=1,2,.. .,v) - некоторые точки контура; mk, рj - целые положительные числа; G1(t) - функция, удовлетворяющая условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль. Точки будут нулями функции G(t). Точки будем называть ее полюсами, т.к. функция G(t) неаналитическая, то применение термина полюс не вполне правильно. Мы употребляем этот термин для кратности, понимая под этим точку, где неаналитическая функция обращается в бесконечность целого порядка. Обозначим

Решение будем искать в классе функций, ограниченных на контуре. Пусть Х(z) есть каноническая функция задачи Римана с коэффициентом G1(t). Подставим в (*) и запишем краевое условие в виде

(**)

Применим к последнему равенству теорему об аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля. Точки , не могут быть особыми точками единой аналитической функции, так как это противоречило бы предположению об ограниченности Ф+(t) или ФП(t). Следовательно, единственной возможной особенностью является бесконечно удаленная точка. Порядок на бесконечности ХП(z) есть ч, а порядок равен -р. Отсюда порядок на бесконечности функции есть -ч+p. При ч-p?0 согласно обощенной теореме Лиувилля

откуда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если ч-p<0, то нужно положить Pч-p(z)?0 и, следовательно, задача не имеет решений.

Назовем краевую задачу с коэффициентами G1(t) приведенной задачей. Индекс приведенной задачи к назовем вместе с тем и индексом данной задачи. Формулы (***) показывают, что степень многочлена P{z) па р единиц меньше индекса задачи ч.

Отсюда следует, что число решений задачи (*) в классе функций, ограниченных на контуре, не изменяется от наличия нулей у коэффициента задачи и уменьшается на суммарный порядок всех полюсов. В частности, если индекс оказывается меньше суммарного порядка полюсов, то задача неразрешима.

2. Неоднородная задача.

Запишем краевое условие в форме

(****)

Легко видеть, что краевое условие не может быть удовлетворено конечными Ф+(t), ФП(t), если допустить, что g(t) имеет полюсы в точках, отличных от , или если в последних точках порядки полюсов g(t) превышают рj. Исходя из этого, примем как условие, что g(t) может иметь полюсы только в точках и порядки их не превышают pj.

Для применимости дальнейшей теории нужно потребовать, чтобы функции G1(t) и в исключительных точках были дифференцируемы достаточное число раз.

Заменим, как и в однородной задаче, G1(t) отношением канонических функций и запишем краевое условие (****) в виде

Функция будет интегрируемой. Заменив ее разностью краевых значений аналитических функций

где

Приведем краевое условие к виду

Применяя теорему об аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля, получим

(*****)

Последние формулы дадут решения, которые, вообще говоря, будут обращаться в бесконечность в точках , .

Для того, чтобы решение было ограниченным, необходимо, чтобы функция имела нули порядков рj в точках , а функция - нули порядков mk в точках . Эти требования наложат т+p условий на коэффициенты многочлена . Если коэффициенты многочлена подберем согласно наложенным условиям, то формулы (*****) дадут решение неоднородной задачи (****) в классе ограниченных функций.

Канонической функцией Y(z) неоднородной задачи (****) называется кусочно-аналитическая функция, удовлетворяющая краевому условию (****), имеющая всюду в конечной части плоскости (включая и точки , нулевой порядок и обладающая на бесконечности наивысшим возможным порядком.

При построении канонической функции будем исходить из решения, даваемого формулами (*****).

Построим многочлен Q(z) так, чтобы он удовлетворял следующим условиям:

Где - значения производных i-го и l-го порядков в соответствующих точках. Таким образом, Q(z) есть интерполяционный многочлен Эрмита для функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

с узлами интерполяции , кратностей соответственно pj, mk

Известно, что такой многочлен определяется единственным образом и его степень с равна с=m+p-1. Каноническая функция неоднородной задачи выражается через интерполяционный многочлен:

(******)

Для построения общего решения неоднородной задачи (****) воспользуемся тем, что это общее решение складывается из некоторого частного решения неоднородной задачи и общего решения однородной. Используя формулы и (******), получим

Делись добром ;)