Кривые второго порядка
5. Вывод для данной кривой
второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов мы определили, что при данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.
6. Анализ поверхности второго порядка
1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
(2.2)
где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка
(2.1)
Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.
(2.2)
То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.
2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.
1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:
(2.3)
Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках и (см. рис 1).
2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:
: (2.4)
Запишем уравнение (2.4) в виде:
: (2.5)
Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число). При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):
(сечений нет)
(прямая)
(две параллельные прямые)
Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость имеют вид:
: (2.6)
Запишем уравнение (2.6) в виде:
: (2.7)
Уравнение (2.7) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число),
При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.3):
(сечений нет)
,
.
Построение сечений:
Рис.1. Эллипс (Z=const).
Рис.2. Семейство прямых (X=h (h=const)).
Рис.3. Семейство прямых (Y=h (h=const)).
3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат
Рис.4. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат.
7. Вывод
Итак, мы привели общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, то есть максимально его упростили. Далее, для того, чтобы иметь представление о форме данной поверхности, мы исследовали её методом сечений плоскостями , , , параллельными координатным плоскостям. В ходе исследования мы получили эллиптический цилиндр.
Список литературы
1. Копылова Т.В. "Аналитическая геометрия". - Дубна, 1996.
2. Ефимов А.В., Демидович Б.П. "Сборник по математике" (для ВТУЗов) (в четырех частях). - М.: Наука, 1993.
3. Мазный Г.Л., Мурадян А.В. "Офисные информационные технологии" - Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 1999.