Кривые второго порядка на проективной плоскости

курсовая работа

1. ПРОЕКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И КРИВЫХ ВТОРОГО КЛАССА

геометрия шестиугольник паскаль теорема

Говоря о формах первой ступени, рассматривается прямолинейный ряд точек, который здесь мы будем называть рядом первого порядка. Двойственную форму первой ступени -- пучок прямых -- будем называть пучком первого порядка.

С помощью двух проективных пучков первого порядка можно образовать ряд точек второго порядка. Двойственной формой явится пучок прямых второго порядка, который можно образовать с помощью двух проективных рядов первого порядка.

Предположим, что мы имеем два проективных пучка S1 и S2 первого порядка (Рис. 1):

S1(a1,b1 ,c1,...) S2(a2,b2, с2,...).

Обозначим буквой А точку пересечения соответственных прямых а1 и а2 проективных пучков S1 и S2. Будем иметь:

.

и аналогично

,

,

. . . . . . . .

Рассмотрим геометрическое место точек А, В, С,... пересечения пар соответственных прямых данных пучков. Это геометрическое место точек называется рядом точек второго порядка.

Докажем следующее свойство рядов второго порядка: Произвольная прямая не может иметь более двух точек, принадлежащих данному ряду второго порядка.

Пусть дана прямая т (рис. 1). Пучок S1 пересекая прямую т, дает на ней перспективный ряд точек: A1 ,B11,… . Пучок S2 дает в пересечении с прямой т перспективный ему ряд точек: А222,… . Так как пучки S1 и S2 проективны, то и образованные ими на прямой т ряды также проективны;

S1(A1,B1 ,C1,...) S2(A2,B2, C2,...).

Таким образом, на прямой т имеем два проективных ряда точек. Два проективных ряда с общим носителем не могут иметь более двух двойных точек, так как если они имеют их три, то данные ряды совпадают В этом случае пучки S1 и S2 не только проективны, но и перспективны (с осью перспективности т). Случай, когда пучок пучку S2, будет рассмотрен ниже.. Предположим, что точка X является двойной, т. е. оба соответственных луча х1 и х2 пересекают прямую т в точке X. Но тогда X является точкой ряда второго порядка. Следовательно, каждая двойная точка проективных рядов на носителе т является вместе с тем точкой ряда второго порядка. Легко видеть, что и, обратно, всякая точка ряда второго порядка, лежащая на прямой т, является двойной точкой рассматриваемых проективных рядов, так как через нее проходят оба соответственных луча пучков S1 и S2.

Но, как уже было сказано, двойных точек не может быть более двух, поэтому на прямой т не может быть более двух точек ряда второго порядка. Теорема доказана.

Следовательно, ряд второго порядка представляет собой геометрическое место точек, имеющее с произвольной прямой не более двух точек пересечения.

Это свойство и послужило основанием называть полученное геометрическое место рядом второго порядка или кривой второго порядка Ниже убедимся, что образованные с помощью пучков кривые 2-го порядка тождественны с кривыми, известными по курсу аналитической геометрии в пространстве..

Рассмотрим частный случай двух проективных пучков, а именно предположим, что эти пучки перспективны:

Обозначим буквой s ось перспективности пучков S1 и S2 (Рис. 2). Тогда прямая s является геометрическим местом точек пересечения пар соответственных прямых данных пучков, следовательно, прямая s входит в этом случае в состав ряда второго порядка. Рассмотрим далее общую прямую t обоих пучков. Предположим, что прямая t пересекает ось перспективности s в точке Т. В таком случае прямой S1T t первого пучка соответствует прямая S2T t второго пучка (общая прямая сама себе соответствует), а следовательно, каждая точка общей прямой t принадлежит как прямой S1T так и прямой S2T, т. е. является общей точкой пары соответственных прямых. Поэтому двойная прямая t также должна быть включена в состав ряда второго порядка.

Поэтому приходим к выводу, что

Ряд второго порядка, образованный двумя перспективными точками S1 и S2, состоит из двух рядов первого порядка, а именно оси перспективности s и общей прямой двух данных пучков t.

Короче, ряд второго порядка распадается в данном случае на два ряда первого порядка.

Вернемся к общему случаю. Рассмотрим ряд (или кривую) второго порядка, образованный с помощью двух проективных пучков S1 и S2 (Рис. 3). Общую прямую этих пучков можно рассмотреть как прямую первого пучка, обозначая ее через p1. Тогда ей соответствует во втором пучке некоторая прямая р2. Считая общую прямую данных пучков прямой q2 второго пучка, получим соответствующую ей прямую q2 первого пучка.

Самые центры S1 и S2, очевидно, принадлежат к ряду второго порядка, так как они являются точками пересечения пар соответственных прямых:

,

.

Будем называть прямую р2 касательной к ряду второго порядка в точке S2, а прямую q1 - касательной в точке S1.

Покажем далее, что данное здесь определение касательной в центре пучка (S1 и S2) совпадает с обычным определением касательной как предельного положения секущей. В самом деле, предположим, что произвольная прямая а1 пучка S1 (Рис. 3) вращается в определенном направлении, описывая пучок. Если прямая а1 стремится при этом к совпадению с прямой p1S1S2, то точка А описывает кривую второго порядка, стремясь к совпадению с точкой S2. В то же время соответственная прямая p2S2A также вращается в определенном направлении, стремясь к" совпадению с касательной прямой р2. Поэтому касательная р2 является предельным положением вращающейся секущей а2, в то время как вторая точка пересечения А стремится к совпадению с первой точкой S2. Центр пучка S2 является, таким образом, точкой прикосновения касательной р2. Аналогично центр пучка S1 является точкой прикосновения касательной q1.

2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЯДОВ И ПУЧКОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. При образовании ряда второго порядка с помощью проективных пучков (S1) и (S2) роль центров этих пучков S1 и S2 отличалась от роли всех остальных точек ряда второго порядка. Покажем теперь, что этого отличия на самом деле нет, и что любая точка ряда второго порядка может служить центром одного из образующихся пучков. С этой целью докажем следующую фундаментальную теорему:

Точки ряда второго порядка проектируются из любых двух точек этого ряда двумя проективными пучками.

Пусть ряд второго порядка образован двумя проективными пучками с центрами в точках S1 и S2 (Рис. 4). Эти пучки будем называть «образующими» (ряд второго порядка). Пусть А, В, С, D - четыре произвольные точки ряда второго порядка.

Тогда прямые S1C и S2C являются соответственными в проективных пучках S1 и S2, образующих данный ряд второго порядка. Если точка С описывает этот ряд, то соответственные лучи S1C и S2C описывают образующие пучки. Обозначим через Х1 точку пересечения луча S1C с прямой AD и через Х2 - точку пересечения луча S2C с прямой BD. Тогда луч S1C опишет на прямой AD перспективный ряд первого порядка (Х1) (точка пересечения X, перемещается по прямой AD), а луч S2C опишет на прямой BD перспективный ряд первого порядка (Х2) (точка пересечения Х2 перемещается по прямой BD). Следовательно, можем написать:

пучок S1(S1C) ряду (X1),

пучок S2(S2C) ряду (X2).

Отсюда заключаем, что ряд (X1) ряду (X2).

Общим элементом этих рядов является точка D. Так как лучу S1D соответствует луч S2D, то точка D сама себе соответствует. Следовательно, ряды (X1) и (Х2) перспективны:

ряд (X1) ряду (X2).

Найдем центр перспективности этих рядов. Так как лучу S1А соответствует луч S2A, то точке А первого ряда соответствует точка А2 второго (А2=BDS2A). С другой стороны, лучу S2В соответствует луч S2B. Поэтому точке В1 первого ряда (B2=ADS1B) соответствует точка В второго. Центр перспективности определяется как точка М пересечения прямых АА2 и ВВ1, т. е.

M=S1BS2A.

Прямая Х1Х2, соединяющая две соответственные точки перспективных рядов, должна проходить через их центр М перспективности. Следовательно, три точки X12 и М лежат на одной прямой. При этом отметим, что положение центра перспективности M зависит только от четырех точек S1, S2, А и В и не зависит от положения точек С и D.

Рассмотрим теперь два пучка прямых с центрами в точках А и В. Соответственными лучами этих пучков будем считать прямые, проектирующие точки данного ряда второго порядка, например прямые AD и BD. Докажем, что эти пучки проективны. Закрепим неподвижно точку С и будем теперь перемещать точку D. Если точка D описывает данный ряд второго порядка, то луча AD и BD образуют соответственно на прямых CS1 и СS2 ряды (Х1) и (Х2) первого порядка. При этом

ряд (Х1)пучку A(AD),

ряд (Х2)пучку B(BD) Следует обратить внимание на то, что на этот раз ряды Х1 и Х2 расположены соответственно на носителях CS1 и CS2, в то время как в первой части доказательства рассматривались ряды на прямых AD и BD. .

Но прямая Х1Х2 всегда проходит через точку М, положение которой не зависит от движущейся точки D. Поэтому ряды (X1) и (Х2) на прямых CS1 и CS2 перспективны, а проектирующие их пучки проективны, т. е.

пучок A(AD)пучку B(BD).

Так как центры этих пучков А и В - произвольные точки данного ряда второго порядка, то теорема доказана.

Любые две точки ряда второго порядка могут быть выбраны в качестве, центров образующих пучков.

Из основной теоремы можно вывести весьма важные следствия.

Следствие 1. Так как каждая точка А ряда второго порядка является центром одного из двух образующих пучков (центром второго может быть любая другая точка ряда второго порядка), то можем сказать, что каждая точка А имеет (единственную) касательную, для которой она является точкой прикосновения.

Следствие 2. Ряд второго порядка вполне определяется любыми своими пятью точками.

Пусть, например, даны пять точек ряда второго порядка: А, В, С, D, Е (Рис. 5). Тогда две (любые) из них можем принять за центры образующих пучков. Пусть выбраны точки А и В. Тогда проективное соответствие образующих пучков А и В определяется тремя парами соответственных лучей, а именно:

A (AC, AD, АЕ) В(ВС, BD, BE).

Пучки А и В образуют искомый ряд точек второго порядка, проходящий через заданные точки А, В, С, D, Е.

2. Переходим к пучкам второго порядка. В силу принципа двойственности на плоскости для пучков второго порядка должна иметь место теорема, двойственная доказанной выше основной теореме о рядах второго порядка:

Прямые пучка второго порядка пересекают две какие-либо прямые этого пучка по двум проективным рядам точек.

Пусть пучок второго порядка образован двумя проективными рядами на прямых s1 и s2. Пусть, кроме того, а, b, с, d - четыре произвольные прямые пучка второго порядка (Рис. 6). Тогда точки С1 и С2 являются соответственными в проективных рядах s1 и s2. Если прямая с описывает данный пучок второго порядка, то точки С1 и С2 описывают образующие ряды s1 и s2.

Обозначим через А точку пересечения прямой а с прямой d и через В - точку пересечения прямой b с прямой d. Будем считать прямые s1, s2, a, b, d неподвижными (фиксированными), а прямую с - описывающей пучок второго порядка. Тогда получим два проективных пучка первого порядка с центрами А и В, соответственными лучами которых являются прямые АС1 х1 и ВС2 х2.

В самом деле, ряды (С1) и (С2) на прямых s1 и s2 проективны как образующие. Пучок А(АС1) перспективен ряду (С1); пучок В(ВС2) перспективен ряду (С2). Поэтому имеем:

пучок А(х1) пучку В(х2).

Докажем, что эти пучки перспективны. С этой целью рассмотрим их общий элемент -- прямую d. Если прямая с совпадает с прямой d, то точка С1 совпадает с точкой D1, а точка С2 - с точкой D2.

Поэтому лучу AD1 соответствует луч BD2. Другими словами, если луч х1 совпадает с d, то и луч х2 совпадает с d. Прямая d сама себе соответствует. Отсюда и заключаем о перспективности пучков:

пучок А(х1) пучку В(х2).

Найдем ось перспективности этих пучков. Если прямая с совпадает с прямой а, то она дает пару соответственных точек А1 и A2 образующих рядов. Поэтому лучу АА1а соответствует луч ВА2. Эти лучи пересекаются в точке А2:

АА1ВА22.

При совпадении прямой с с прямой b получаем пару точек В1 и В2, соответственных в проективных рядах s1 и s2.

Тогда лучу АВ1 пучка А соответствует луч ВВ2b пучка В. Эти лучи пересекаются в точке В1:

АВ1ВВ21.

Таким образом, осью перспективности является прямая А2В1т. На этой прямой должна лежать точка пересечения X всякой пары соответственных лучей х1 и х2 пучков A и В. Заметим, что ось перспективности т зависит лишь от четырех прямых s1, s2, а, b и не зависит от положения прямых c и d. Если поэтому мы, закрепив прямые s1, s2, a, b и с, стали бы перемещать прямую d, описывающую данный пучок второго порядка, то точка X пересечения прямых АС1х1 и ВС2х2 должна по доказанному лежать на прямой т. Рассмотрим теперь те два ряда точек первого порядка, которые образует на неподвижных прямых а и b движущаяся прямая d. Прямая d пересекает прямые а и b соответственно в точках А и В. Рассмотрим ряды (А) и (В). Нетрудно убедиться в том, что эти ряды проективны. В самом деле, ряд (А) перспективен пучку C1 (x1), а ряд (В) перспективен пучку С22). Но пучки С11) и С22) перспективны с осью перспективности m. Поэтому ряды (А) и (В) проективны. Так как а и b--две произвольные прямые данного пучка второго порядка, то теорема доказана.

Из нее вытекают следующие свойства пучков второго порядка.

Следствие 1. Любая прямая а пучка второго порядка может быть выбрана в качестве носителя образующего ряда (причем вторым носителем является какая-либо другая прямая b пучка). Поэтому каждая прямая пучка второго порядка имеет точку прикосновения. Если рассмотрим геометрическое место точек прикосновения, то получим кривую, которая является огибающей данного пучка прямых второго порядка. Прямые пучка являются касательными к этой кривой. Последнюю называют также кривой второго класса, так как через каждую точку плоскости проходит не более двух касательных к кривой (иначе, не более двух прямых пучка второго порядка).

Следствие 2. Пучок второго порядка вполне определяется пятью заданными прямыми а, b, с, d, е. В самом деле, две из этих прямых, например прямые а и b, можно выбрать в качестве носителей образующих рядов. Тогда три остальные прямые с, d и е определяют проективное соответствие этих рядов (Рис. 7). Именно имеем три пары соответственных точек На рисунке 7 эти точки обозначены как (ас), (ad), (ae) и (bс), (bd), (be).:

a[(ac), (ad), (ae)] b[(bc), (bd), (be)].

Пучок второго порядка, определяемый проективными рядами а и b, содержит пять заданных прямых (а, b, с, d, е).

Делись добром ;)