Кривые линии третьего порядка

§ 2. Циссоида Диоклеса

1.Исторические сведения. Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. При этом древние греки рассматривали только часть циссоиды, лежащую внутри производящей окружности; эта часть циссоиды вместе с дугой окружности напоминают лист плюща.

Этим и объясняется название кривой: оно произошло от греческого слова чйууейдЮж - плющевидный, похожий на лист плюща, которое, в свою очередь, пошло от чйуупж - плющ и ейдпт - вид, форма. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и независимо от него Слюзом.

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 г.

2.Определение и построение кривой. Циссоида Диоклеса -- плоская алгебраическая кривая третьего порядка (рис. 3). Ее уравнение в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид

Рисунок 3

Вводя в качестве параметра отношение и подставляя в уравнение кривой легко получить параметрическое представление:

Пусть Тогда, подставляя эти равенства в уравнение , получим

,

откуда, после сокращения на , получим уравнение циссоиды в полярной системе координат.

Уравнение циссоиды в полярной системе координат имеет вид (полюс,полярная ось):

В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по , а ось ординат по , на отрезке строится вспомогательная окружность (рис. 4).

Рисунок 4

В точке проводится касательная . Из точки проводится произвольная прямая , которая пересекает окружность в точке и касательную в точке От точки, в направлении точки откладывается отрезок , длина которого равна длине отрезка

При вращении линии вокруг точки точка описывает линию, которая называется циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рисунке показаны синим и красным цветами.

Асимптота:- радиус вспомогательной окружности.

Диокл строил кривую так: находится точка , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ; ось симметрии -- диаметр . Из точки проводится перпендикуляр к оси абсцисс.

Точка , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой .

Этим методом Диокл построил только кривую внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды замкнуть дугой окружности , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща, от чего и произошло название кривой.

I.Найдем площадь между кривой и асимптотой, используя формулу:

Итак, площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга

II.Найдем длину дуги кривой от точки до точки

Вернемся к и подставим полученное нами выражение:

Сначала вычислим неопределенный интеграл



Отдельно посчитаем интегралы:

Итак,

III. Вычислим объем тела, образованного при вращении ветви вокруг оси абсцисс, используя следующую формулу:



Если , то т. е. .

§ 3. Локон Аньези

1.Исторические сведения. Свое название кривая получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези (1718-1799), исследовавшей эту кривую (1748).Иначе эту кривую называют верзьерой.

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд «Основы анализа для итальянской молодежи», в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма».

Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется как «ведьма Аньези».

2.Определение и построение кривой. Локон Аньези - плоская алгебраическая кривая третьего порядка, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где -- диаметр окружности, -- полухорда этой окружности, перпендикулярная .

Рисунок 5

В прямоугольной декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид:

.

Параметрические уравнения кривой:

В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Ось абсцисс служит для кривой асимптотой. В точке локон и окружность имеют общую касательную, параллельную оси абсцисс.

Построение

Строится окружность диаметра и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке . Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

I.Вычислим площадь между кривой и ее асимптотой, используя формулу:



Итак,