Линейные алгебры малых размерностей

курсовая работа

5.Разрешимые алгебры Ли

Определим неассоциативный одночлен уl ( x1,…,x2l) индукцией по l, полагая у0 (х)=х и

уl+1(x1,…,x2l+1)=уl(x1,…,x2l) уl(x1,…,x2l+1).

Теорема. Следующие условия на алгебру Ли и L над кольцом К эквивалентны.

1. Для некоторого целого l 1 L(l-1) {0},a L(l)={0}.

2. В L имеется конечный разрешимый ряд идеалов

L=L0 L1 … Ll={0}

(т.е. такой, что Li/Li+1 - абелева алгебра), и число l - наименьшая длина таких рядов.

3. В L имеется ряд подалгебр

L=М0 М1 … Мc={0}, где М2i Mi+1 и число l - наименьшая длина таких рядов.

4. В L тождественно выполняется соотношение уl ( x1,…,x2l)=0,

А уl-1 ( x1,…,x2l-1)=0 не является тождеством L.

Доказательство. Ряд коммутантов обладает тем свойством, что для разрешимого ряда и любого n 0 выполняется Ln Ln. Значит, (1) и (2) эквивалентны. Далее, если справедливо (3), то, в силу свойства М2i Mi+1, по индукции L(n) Mi, откуда L(l)={0}. Значит, выполнено (1); если L(l-1)={0}, то ряд коммутантов будет иметь меньшую длину, чем ряд в (3), что невозможно. Таким образом, (1) и (3) эквивалентны. Утверждение (4) вытекает из (1), так как индуктивное определение элементов уl(x1,…,x2l) показывает, что для любых v1,…,v2l L элемент уl(v1,…,v2l) лежит в L(l). Для доказательства обратного заметим, что L(l) как К - модуль порождается элементами уl(v1,…,v2l), vi L. Это утверждение справедливо при l=0. Предполагая его справедливым для L(l-1) есть К - оболочка элементов уl-1(v1,…,v2l-1), v1,…,v2l-1 L. По определению тогда L(l) является К - оболочкой произведений таких элементов, равных элементам вида

уl-1(v1,…,v2l-1) уl-1(v2l-1+1,…,v2)= уl(v1,…,v2l).

Таким образом, если выполнено (4), то и выполнено (1). Теорема доказана.

Алгебра L, удовлетворяющая условиям (1) - (4), называется разрешимой ступени l.

Делись добром ;)