Линейные системы уравнений
5. Собственные значения и собственные векторы
Рассмотрим теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования.
Найдем вектор, который под воздействием матрицы A изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части:
В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах с некоторым числовым параметром и неизвестным вектором-столбцом x и вектором-строкой , представляющих собственное состояние системы. Однородная система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда определитель ее равен нулю. Это следует из формул получения решения методом определителей (Крамера), в которых и определитель знаменателя, и определитель числителя оказываются равными нулю.
Полагая, что решение все же существует, т.е. и , удовлетворить уравнению можно только за счет приравнивания нулю определителя однородной системы:
Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n относительно :
Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы и имеет в общем случае n корней, возможно комплексных, которые называются собственными значениями матрицы и в совокупности составляют спектр матрицы. Относительно n корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные.
Важным свойством характеристического уравнения матрицы A является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A удовлетворяет ему:
где - k-тая степень матрицы.
Подставляя каждое в однородную систему, получим векторно-матричные уравнения для нахождения векторов или векторов-строк . Эти векторы называются соответственно правыми собственными векторами и левыми собственными векторами матрицы.
Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда:
Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что