Логарифмическая функция в задачах

курсовая работа

§ 2. Свойства логарифмов

При любом и любых положительных х и у выполняются следующие свойства:

1. Логарифм единицы по основанию а равен нулю:

loga1 = 0 или 0 = loga1

2. Логарифм а по основанию а равен 1:

logaa =1 или 1 = logaa

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

loga(xy) = logaх + logaу или logaх + logaу = loga(xy).

4. Логарифм частного равен разности логарифмов:

loga = logaх - logaу или logaх - logaу = loga.

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени:

или .

для любого действительного числа р.

6. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

.

Следствие из формулы перехода:

.

Первое свойства логарифмов следуют из определения логарифма и свойства степени с показателем 0 и 1: а0 = 1, значит, loga1= 0; а1 = а, значит, logaa = 1.

Докажем свойство 3. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством () и свойством показательной функции (aх + у = аx аy).

Имеем

.

Отсюда следует, что loga(xy) = logax + logay.

Докажем свойство 4. Вновь воспользуемся основным логарифмическим тождеством

,

следовательно, .

Докажем свойство 5. Воспользуемся тождеством , откуда (использовано свойство возведения в степень). Логарифмируя полученное равенство, имеем .

Докажем формулу перехода к другому основанию.

Воспользуемся основным логарифмическим тожеством ():

;

применяя свойство логарифмирования степени (), получим

.

Разделив обе части равенства на logba, имеем .

Делись добром ;)